Rysunek pomocniczy:

---

Obwód trapezu jest równy $16\text{cm}$, więc:

$a+c+b+c=16$

$a+b+2c=16$

Skoro w trapez można wpisać okrąg, to sumy długości jego przeciwległych boków są równe:

$a+b=c+c$

$a+b=2c$

Otrzymujemy, że:

$2c+2c=16$

$4c=16|:4$

$\boxed{c=4\left[\text{cm}\right]}$

A to oznacza, że:

$a+b=2\cdot 4$

$a+b=8\left(\star \right)$

---

Wysokości trapezu równoramiennego poprowadzone na dłuższą podstawę dzielą trapez na prostokąt i dwa przystające trójkąty prostokątne.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$\left|EF\right|=\left|CD\right|=b$

$\left|AE\right|=\left|FB\right|=\frac{\left|AB\right|-\left|EF\right|}{2}=\frac{a-b}{2}$

$\left|AF\right|=\left|AE\right|+\left|EF\right|=\frac{a-b}{2}+b=\frac{a-b+2b}{2}=\frac{a+b}{2}=\frac{2c}{2}=c=4$

---

Spójrzmy na trójkąt prostokątny $AFC$.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|AF\right|}^2+{\left|CF\right|}^2={\left|AC\right|}^2$

$4^2+{\left|CF\right|}^2={\left(2\sqrt{7}\right)}^2$

$16+{\left|CF\right|}^2=4\cdot 7$

$16+{\left|CF\right|}^2=28$

${\left|CF\right|}^2=28-16$

${\left|CF\right|}^2=12$

Długości są dodatnie, więc:

$\left|CF\right|=\sqrt{12}$

$\left|CF\right|=\sqrt{4\cdot 3}$

$\left|CF\right|=2\sqrt{3}$

---

Spójrzmy na trójkąt prostokątny $BFC$.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|FB\right|}^2+{\left|CF\right|}^2={\left|BC\right|}^2$

${\left|FB\right|}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=c^2$

${\left|FB\right|}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=4^2$

${\left|FB\right|}^2+4\cdot 3=16$

${\left|FB\right|}^2+12=16$

${\left|FB\right|}^2=16-12$

${\left|FB\right|}^2=4$

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$\left|FB\right|=\sqrt{4}$

$\left|FB\right|=2$

---

Rysunek pomocniczy:

 

Korzystamy z $\left(\star \right)$:

$a+b=8$

Zauważmy, że zgodnie z rysunkiem:

$a=2+b+2$

$a=b+4\left(\star \star \right)$

Zatem:

$b+4+b=8$

$2b+4=8$

$2b=8-4$

$2b=4|:2$

$\boxed{b=2\left[\text{cm}\right]}$

Podstawiamy obliczone $b$ do $\left(\star \star \right)$:

$a=2+4$

$\boxed{a=6\left[\text{cm}\right]}$

---

Odp. Dłuższa podstawa trapezu ma długość $6\text{cm}$, krótsza $2\text{cm}$, a ramię $4\text{cm}$.