Dla jakich wartości parametru m...- Zadanie 12: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane jest równanie:

$(2 - m) x^{2} + (3 - m) x + 1 = 0$

Zauważmy, że:

równanie może mieć dwa pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowym, czyli współczynnik przy $x^{2}$ jest różny od zera:

$2 - m \neq = 0$

równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy wyróżnik jest dodatni:

$Δ > 0$

dwa różne pierwiastki są ujemne, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma jest ujemna:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0 i x_{1} + x_{2} < 0$

Możemy więc zapisać, że muszą być spełnione cztery warunki:

$⎩ ⎨ ⎧ 2 - m \neq = 0 Δ > 0 x_{1} \cdot x_{2} > 0 x_{1} + x_{2} < 0$

Zajmijmy się pierwszym warunkiem:

$2 - m \neq = 0$

$- m \neq = - 2 ∣ : (- 1)$

$m \neq = 2$

Zajmijmy się drugim warunkiem:

$Δ > 0$

$(3 - m)^{2} - 4 \cdot (2 - m) \cdot 1 > 0$

$3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot m + m^{2} - 4 (2 - m) > 0$

$9 - 6 m + m^{2} - 8 + 4 m > 0$

$m^{2} - 2 m + 1 > 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

$(m - 1)^{2} > 0$

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:

$(m - 1)^{2} \geq 0$

Zatem:

$(m - 1)^{2} \neq = 0$

$m - 1 \neq = 0$

$m \neq = 1$

Zajmijmy się trzecim warunkiem:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$\frac{c}{a} > 0$

$\frac{1}{2 - m} > 0$

Licznik jest dodatni, więc ułamek jest dodatni, gdy mianownik jest dodatni:

$2 - m > 0$

$- m > - 2 ∣ : (- 1)$

$m < 2$

Zajmijmy się czwartym warunkiem:

$x_{1} + x_{2} < 0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$- \frac{b}{a} < 0$

$- \frac{3 - m}{2 - m} < 0 ∣ : (- 1)$

$\frac{3 - m}{2 - m} > 0 ∣ \cdot (2 - m)^{2}, m \neq = 2$

$(3 - m) (2 - m) > 0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$(3 - m) (2 - m) = 0$

$3 - m = 0 - m = - 3 m = 3 lub 2 - m = 0 - m = - 2 m = 2$

Szkicujemy parabolę z ramionami do góry, bo współczynnik przy $m^{2}$ jest dodatni (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$m \in (- \infty; 2) \cup (3; \infty)$

Otrzymujemy, że:

$⎩ ⎨ ⎧ m \neq = 2 m \neq = 1 m < 2 m \in (- \infty; 2) \cup (3; \infty)$

Rysunek pomocniczy:

Ostatecznie:

$m \in (- \infty; 1) \cup (1; 2)$

Dane jest równanie:

$m x^{2} + (2 m + 1) x + m - 1 = 0$

Zauważmy, że:

równanie może mieć dwa pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowym, czyli współczynnik przy $x^{2}$ jest różny od zera:

$m \neq = 0$

równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy wyróżnik jest dodatni:

$Δ > 0$

dwa różne pierwiastki są dodatnie, gdy ich iloczyn jest dodatni i suma jest dodatnia:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0 i x_{1} + x_{2} > 0$

Możemy więc zapisać, że muszą być spełnione cztery warunki:

$⎩ ⎨ ⎧ m \neq = 0 Δ > 0 x_{1} \cdot x_{2} > 0 x_{1} + x_{2} > 0$

Zajmijmy się drugim warunkiem:

$Δ > 0$

$(2 m + 1)^{2} - 4 \cdot m \cdot (m - 1) > 0$

$(2 m)^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot 1 + 1^{2} - 4 m (m - 1) > 0$

$4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m^{2} + 4 m > 0$

$8 m + 1 > 0$

$8 m > - 1 ∣ : 8$

$m > - \frac{1}{8}$

Zajmijmy się trzecim warunkiem:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$\frac{c}{a} > 0$

$\frac{m - 1}{m} > 0 ∣ \cdot m^{2}, m \neq = 0$

$(m - 1) m > 0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$(m - 1) m = 0$

$m - 1 = 0 m = 1 lub m = 0$

Szkicujemy parabolę z ramionami do góry, bo współczynnik przy $m^{2}$ jest dodatni (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$m \in (- \infty; 0) \cup (1; \infty)$

Zajmijmy się czwartym warunkiem:

$x_{1} + x_{2} > 0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$- \frac{b}{a} > 0$

$- \frac{2 m + 1}{m} > 0 ∣ : (- 1)$

$\frac{2 m + 1}{m} < 0 ∣ \cdot m^{2}$

$(2 m + 1) m < 0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$2 m + 1 = 0 2 m = - 1 m = - \frac{1}{2} lub m = 0$

Szkicujemy parabolę z ramionami do góry, bo współczynnik przy $m^{2}$ jest dodatni (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$m \in (- \frac{1}{2}; 0)$

Otrzymujemy, że:

$⎩ ⎨ ⎧ m \neq = 0 m > - \frac{1}{8} m \in (- \infty; 0) \cup (1; \infty) m \in (- \frac{1}{2}; 0)$

Rysunek pomocniczy:

Ostatecznie:

$m \in (- \frac{1}{8}; 0)$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania kwadratowe

13:14

Zobacz lekcję

Metoda przeciwnych współczynników

10:05

Zobacz lekcję

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.