Wiemy, że dwie proste o równaniach kierunkowych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.

Zapiszmy równania prostych, w których zawarte są boki trójkąta, w postaci kierunkowej:

• $4x-3y+6=0$

$-3y=-4x-6|:(-3)$

$y=\frac{4}{3}x+2$

• $3x+4y-8=0$

$4y=-3x+8|:4$

$y=-\frac{3}{4}x+2$

• $7x+y-27=0$

$y=-7x+27$

Zauważmy, że:

$\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{12}{12}=-1$

Czyli proste o równaniach $4x-3y+6=0$ i $3x+4y-8=0$ są prostopadłe.

A to oznacza, że trójkąt jest prostokątny.

Co należało wykazać.

---

Wyznaczmy teraz wierzchołki tego trójkąta, czyli punkty przecięcia danych prostych.

• Jeden wierzchołek trójkąta jest punktem przecięcia prostych o równaniach

$4x-3y+6=0$ i $3x+4y-8=0$:

$\{\begin{array}{l}4x-3y=-6|\cdot 4\\ 3x+4y=8|\cdot 3\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{array}{l}16x-12y=-24\\ 9x+12y=24\end{array}$

Dodajemy równania stronami:

$16x-12y+9x+12y=-24+24$

$25x=0|:25$

$x=0$

Podstawiamy $0$ w miejsce $x$ do drugiego równania i obliczamy $y$:

$3\cdot 0+4y=8$

$0+4y=8$

$4y=8|:4$

$y=2$

Ostatecznie:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}$

Jeden wierzchołek trójkąta to punkt $\boxed{\left(0,2\right)}$.

• Drugi wierzchołek trójkąta jest punktem przecięcia prostych o równaniach

$4x-3y+6=0$ i $7x+y-27=0$:

$\{\begin{array}{l}4x-3y=-6\\ 7x+y=27|\cdot 3\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników:

$\{\begin{array}{l}4x-3y=-6\\ 21x+3y=81\end{array}$

Dodajemy równania stronami:

$4x-3y+21x+3y=-6+81$

$25x=75|:25$

$x=3$

Podstawiamy $3$ w miejsce $x$ do drugiego równania i obliczamy $y$:

$7\cdot 3+y=27$

$21+y=27$

$y=27-21$

$y=6$

Ostatecznie:

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=6\end{array}$

Drugi wierzchołek trójkąta to punkt $\boxed{\left(3,6\right)}$.

• Trzeci wierzchołek trójkąta jest punktem przecięcia prostych o równaniach

$3x+4y-8=0$ i $7x+y-27=0$:

$\{\begin{array}{l}3x+4y=8\\ 7x+y=27|\cdot (-4)\end{array}$

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników:

$\{\begin{array}{l}3x+4y=8\\ -28x-4y=-108\end{array}$

Dodajemy równania stronami:

$3x+4y-28x-4y=8-108$

$-25x=-100|:(-25)$

$x=4$

Podstawiamy $4$ w miejsce $x$ do drugiego równania i obliczamy $y$:

$7\cdot 4+y=27$

$28+y=27$

$y=27-28$

$y=-1$

Ostatecznie:

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-1\end{array}$

Trzeci wierzchołek trójkąta to punkt $\boxed{\left(4,-1\right)}$.