a)

Rozwiązujemy równanie:

${\left(\sqrt{2}-b\right)}^2-{\left(b-2\sqrt{2}\right)}^2=-6$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$\left[\left(\sqrt{2}-b\right)-\left(b-2\sqrt{2}\right)\right]\cdot \left[\left(\sqrt{2}-b\right)+\left(b-2\sqrt{2}\right)\right]=-6$

$\left(\sqrt{2}-b-b+2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-b+b-2\sqrt{2}\right)=-6$

$\left(3\sqrt{2}-2b\right)\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=-6$

$-3\cdot 2+2\sqrt{2}b=-6$

$-6+2\sqrt{2}b=-6$

$2\sqrt{2}b=-6+6$

$2\sqrt{2}b=0|:2\sqrt{2}$

$b=0$

---

Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$f\left(x\right)=-2x+b$

Zatem:

$f\left(x\right)=-2x+0$

$f\left(x\right)=-2x$

---

Miejsce zerowe funkcji $f$ to taki argument $x$, dla którego $f\left(x\right)=0$.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:

$-2x=0|:(-2)$

$\boxed{x=0}$

---

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$\left(\frac{1}{2}b+2\right)\left(2-\frac{1}{2}b\right)+{\left(1+\frac{1}{2}b\right)}^2=0$

$\left(2-\frac{1}{2}b\right)\left(2+\frac{1}{2}b\right)+{\left(1+\frac{1}{2}b\right)}^2=0$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i kwadrat sumy:

$2^2-{\left(\frac{1}{2}b\right)}^2+1^2+2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}b+{\left(\frac{1}{2}b\right)}^2=0$

$4-\frac{1}{4}{b}^2+1+b+\frac{1}{4}{b}^2=0$

$5+b=0$

$b=-5$

---

Funkcja $f$ jest określona wzorem:

$f\left(x\right)=-2x+b$

Zatem:

$f\left(x\right)=-2x+\left(-5\right)$

$f\left(x\right)=-2x-5$

---

Miejsce zerowe funkcji $f$ to taki argument $x$, dla którego $f\left(x\right)=0$.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:

$-2x-5=0$

$-2x=5|:(-2)$

$x=-\frac{5}{2}$

$x=-2\frac{1}{2}$

$\boxed{x=-2,5}$