a)

$\{\begin{array}{l}2x-y=-5\\ x+y=2\end{array}$

Każde z równań przekształcamy do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}y=2x+5\\ y=-x+2\end{array}$

Wprowadźmy oznaczenia:

$l_1:y=2x+5$

$l_2:y=-x+2$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_1$:

$x$	$-2$	$0$
$y$	$1$	$5$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_2$:

$x$	$-2$	$2$
$y$	$4$	$0$

Rysujemy proste $l_1$ i $l_2$ w układzie współrzędnych:

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych $l_1$ i $l_2$jest to punkt  $P=\left(-1,3\right)$, aby sprawdzić, czy poprawnie odczytaliśmy rozwiązanie podstawiamy współrzędne tego punktu do układu równań:

$\{\begin{array}{l}3=2\cdot \left(-1\right)+5\\ 3=-\left(-1\right)+2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3=-2+5\\ 3=1+2\end{array}$

Stąd:

$\{\begin{array}{l}3=3\\ 3=3\end{array}$

Odp.: Układ równań jest oznaczony.

---

b)

$\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)=3x-4\\ 2\left(y-1\right)=x\end{array}$

Każde z równań przekształcamy do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}2x+2y=3x-4\\ 2y-2=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2y=x-4\\ 2y=x+2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-2\\ y=\frac{1}{2}x+1\end{array}$

Wprowadźmy oznaczenia:

$l_1:y=\frac{1}{2}x-2$

$l_2:y=\frac{1}{2}x+1$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_1$:

$x$	$0$	$4$
$y$	$-2$	$0$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_2$:

$x$	$-2$	$0$
$y$	$0$	$1$

Rysujemy proste $l_1$ i $l_2$ w układzie współrzędnych:

Proste $l_1$ i $l_2$są równoległe, nie mają punktu wspólnego, więc układ równań nie ma rozwiązań.

Odp.: Układ równań jest sprzeczny.

---

c)

$\{\begin{array}{l}x+y=3\left(1-x\right)\\ y+1=4\left(1-x\right)\end{array}$

Każde z równań przekształcamy do postaci kierunkowej:

$\{\begin{array}{l}x+y=3-3x\\ y+1=4-4x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-4x+3\\ y=-4x+3\end{array}$

Wprowadźmy oznaczenia:

$l_1:y=-4x+3$

$l_2:y=-4x+3$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_1$:

$x$	$0$	$1$
$y$	$3$	$-1$

Zbudujmy tabelkę, aby naszkicować wykres prostej $l_2$:

$x$	$0$	$1$
$y$	$3$	$-1$

Rysujemy proste $l_1$ i $l_2$ w układzie współrzędnych:

Proste $l_1$ i $l_2$pokrywają się, zatem układ ten ma nieskończenie rozwiązań postaci $\left(x,-4x+3\right)$.

Odp.: Układ równań jest nieoznaczony.