Dziedzinę wyrażenia wyznaczamy przed skracaniem, czyli sprawdzamy, kiedy mianownik pierwotnego wyrażenia jest różny od zera.

a)

$\frac{(x+4)(x^2+4)}{(x+2)(x+4)}$

Mianownik nie może być równy zero:

$(x+2)(x+4)\ne 0$

Stąd:

$x\ne -2\text{oraz}x\ne -4$

Dziedzina:

$D=\mathbb{R}\setminus \{-4,-2\}$

Upraszczamy wyrażenie:

$\frac{(x+4)(x^2+4)}{(x+2)(x+4)}=\frac{x^2+4}{x+2}$

Odp.:$D=\mathbb{R}\setminus \{-4,-2\},\frac{x^2+4}{x+2}$

---

b)

$\frac{x^3+6x^2}{(x+6)(x-1)}$

Rozkładamy licznik na czynniki:

$x^3+6x^2=x^2(x+6)$

Mianownik nie może być równy zero:

$(x+6)(x-1)\ne 0$

Stąd:

$x\ne -6\text{oraz}x\ne 1$

Dziedzina:

$D=\mathbb{R}\setminus \{-6,1\}$

Upraszczamy:

$\frac{x^3+6x^2}{(x+6)(x-1)}=\frac{x^2(x+6)}{(x+6)(x-1)}=\frac{x^2}{x-1}$

Odp.:$D=\mathbb{R}\setminus \{-6,1\},\frac{x^2}{x-1}$

---

c)

$\frac{2x^3-12x^2+10x}{x^2-5x}$

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

$2x^3-12x^2+10x=2x(x^2-6x+5)=2x(x-1)(x-5)$

$x^2-5x=x(x-5)$

Mianownik nie może być równy zero:

$x(x-5)\ne 0$

Stąd:

$x\ne 0\text{oraz}x\ne 5$

Dziedzina:

$D=\mathbb{R}\setminus \{0,5\}$

Upraszczamy:

$\frac{2x^3-12x^2+10x}{x^2-5x}=\frac{2x(x-1)(x-5)}{x(x-5)}=2(x-1)$

Odp.:$D=\mathbb{R}\setminus \{0,5\},2(x-1)$

---

d)

$\frac{2(x^2-9)(x-1)}{x^2-4x+3}$

Rozkładamy na czynniki:

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

Mianownik nie może być równy zero:

$(x-1)(x-3)\ne 0$

Stąd:

$x\ne 1\text{oraz}x\ne 3$

Dziedzina:

$D=\mathbb{R}\setminus \{1,3\}$

Upraszczamy:

$\frac{2(x^2-9)(x-1)}{x^2-4x+3}=\frac{2(x-3)(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-3)}=2(x+3)$

Odp.:$D=\mathbb{R}\setminus \{1,3\},2(x+3)$