Wysokość w trójkącie prostokątnym Jeżeli wysokość $h$ poprowadzona na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym dzieli tę przeciwprostokątną na odcinki o długościach $x$ i $y,$ to $h=\sqrt{x\cdot y}$

---

Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku $9:16.$ Wobec tego możemy przyjąć, że te odcinki mają długość odpowiednio $9x$ i $16x,$ gdzie $x$ jest pewną liczbą dodatnią. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Wyznaczamy, w zależności od $x,$ długość wysokości $h.$ Korzystamy ze wzoru na wysokość poprowadzoną na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym.

$h=\sqrt{9x\cdot 16x}$

$h=\sqrt{144x^2},x>0$

$h=12x$

Pokażemy, że trójkąty $BCD$ i $CAD$ są podobne. Z sumy miar kątów w trójkącie $ABC$ mamy

$\alpha +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }|-{90}^{\circ }-\beta$  

$\alpha ={90}^{\circ }-\beta$  

Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie $CDB$ mamy

$\left|\sphericalangle BCD\right|+{90}^{\circ }+\beta ={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\beta$  

$\left|\sphericalangle BCD\right|={90}^{\circ }-\beta$  

$|\sphericalangle BCD|=\alpha$

Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie $ACD$ mamy 

$\alpha +{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle ACD\right|={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\alpha$  

$\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }-\alpha$  

$|\sphericalangle ACD|=\beta$

Trójkąty $BCD$ i $CAD$ mają takie same kąty wewnętrzne, zatem na podstawie cechy kkk (kąt-kąt-kąt) są podobne. 

---

a)

Korzystamy z podobieństwa trójkątów $BCD$ i $CAD$ i zapisujemy proporcję:

$\frac{9x}{a}=\frac{h}{b}$

czyli

$\frac{9x}{a}=\frac{12x}{b}$

Z własności proporcji otrzymujemy

$9x\cdot b=12x\cdot a|:3x>0$

$3\cdot b=4\cdot a|:4b$

$\frac{3}{4}=\frac{a}{b}$

Zatem stosunek długości przyprostokątnych trójkąta $ABC$ jest równy $3:4.$

---

b)

Obliczamy skalę podobieństwa trójkątów $BCD$ i $CAD,$ np. korzystając z długości przeciwprostokątnych tych trójkątów. 

$k=\frac{a}{b}$

Korzystając z podpunktu a), otrzymujemy, że

$k=\frac{3}{4}$

Przypomnijmy, że jeżeli trójkąty są podobne w skali $k,$ to stosunek pól tych trójkątów jest równy $k^2.$ Stąd

$\frac{P_{\Delta BCD}}{P_{\Delta CAD}}=k^2$

$\frac{P_{\Delta BCD}}{P_{\Delta CAD}}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$

$\frac{P_{\Delta BCD}}{P_{\Delta CAD}}=\frac{9}{16}$

Zatem stosunek pól trójkątów, na które wysokość dzieli trójkąt $ABC$ wynosi $9:16.$