Podstawą graniastosłupa jest romb o boku długości $3\mathrm{cm}.$ Dłuższa przekątna rombu ma długość $6\mathrm{cm}.$ Wysokość graniastosłupu jest równa $2\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Rysunek pomocniczy:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ACG.$

${\left|A{C}^{}\right|}^2+{\left|CG\right|}^2={\left|AG\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=6^2$

${\left|AC\right|}^2+4\cdot 3=36$

${\left|AC\right|}^2+12=36|-12$

${\left|AC\right|}^2=24|:\sqrt{},\left|AC\right|>0$

$\left|AC\right|=\sqrt{24}$

$\left|AC\right|=\sqrt{4\cdot 6}$

$\left|AC\right|=2\sqrt{6}[cm]$

Przekątne w rombie dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym, zatem

$\left|AI\right|=\left|IC\right|=\sqrt{6}[cm]$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABI.$

${\left|AI\right|}^2+{\left|IB\right|}^2={\left|AB\right|}^2$

${\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left|IB\right|}^2=3^2$

$6+{\left|IB\right|}^2=9|-6$

${\left|IB\right|}^2=3|:\sqrt{},\left|IB\right|>0$

$\left|IB\right|=\sqrt{3}[cm]$

Skoro odcinek $IB$ ma długość $\sqrt{3}\mathrm{cm},$ to przekątna $BD$ ma długość $2\sqrt{3}\mathrm{cm}.$

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa, czyli pole rombu.

$P_p=\frac{\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|}{2}$

$P_p=\frac{2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{3}}{2}$

$P_p=2\sqrt{18}$

$P_p=2\sqrt{9\cdot 2}$

$P_p=2\cdot 3\sqrt{2}$

$\boxed{P_p=6\sqrt{2}[c{\mathrm{m}}^2]}$