Oznaczmy przez $D$ drugi punkt, w którym prosta $AB$ przecina dany okrąg. Niech $x$ oznacza długość odcinka $CD.$ 

Rysunek pomocniczy:

Kąt $ACD$ jest oparty na średnicy okręgu, więc

$\left|\sphericalangle ACD\right|=90^{\circ }$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ otrzymujemy, że

${{\left|AD\right|}^2=\left|CD\right|}^2+{\left|AC\right|}^2$

${\left(2r\right)}^2={\left(\sqrt{3}r\right)}^2+x^2$

$4r^2=3r^2+x^2$

$r^2=x^2$

$r=x$

Zwróćmy uwagę, że boki trójkąta $ACD$ mają długości $r$, $2r$, $\sqrt{3}r$. Stąd, z własności trójkąta o takich bokach otrzymujemy, że

$\boxed{\left|\sphericalangle CAD\right|=30^{\circ }}$

$\left|\sphericalangle CDA\right|=60^{\circ }$

Kąty $CDA$ i $CDB$ są przyległe, co oznacza, że

$\left|\sphericalangle CDB\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle CDA\right|=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, co oznacza, że kąty $DCB$ i $CBD$ mają równe miary. Suma miar kątów w trójkącie $BCD$ wynosi $180^{\circ }$, co oznacza, że 

$120^{\circ }+\left|\sphericalangle BCD\right|+\left|\sphericalangle DBC\right|=180^{\circ }$

$\left|\sphericalangle CBD\right|=\left|\sphericalangle DCB\right|=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

Stąd:

$\boxed{\left|\sphericalangle CBA\right|=30^{\circ }}$

$\boxed{\left|\sphericalangle ACB\right|=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }}$

Odp. Kąty trójkąta $ABC$ mają miary $\left|\sphericalangle ABC\right|=120^{\circ }$, $\left|\sphericalangle CAB\right|=30^{\circ }$, $\left|\sphericalangle CBA\right|=30^{\circ }.$