a)

Rozwiążmy nierówność:

$x^3-5x^2<0$

$x^2\left(x-5\right)<0$

W tym celu rozważmy wielomian:

$w\left(x\right)=x^2\left(x-5\right)$

Liczba $5$ jest pierwiastkiem  wielomianu $w$ stopnia pierwszego, a więc w  $x=5$ wykres przechodzi przez oś poziomą.

Liczba $0$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ stopnia drugiego, a więc w $x=0$ wykres odbije się od osi poziomej

Naszkicujmy wykres tego wielomianu. Rysowanie zaczniemy od prawej strony od góry:

Rozwiązaniem nierówności są te argumenty, dla których wykres funkcji leży pod osią poziomą. Zatem ostatecznie:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,5\right)$

---

b)

Rozwiążmy nierówność:

$x^4-9x^2⩾0$

$x^2\left(x^2-9\right)⩾0$

$x^2\left(x-3\right)\left(x+3\right)⩾0$

W tym celu rozważmy wielomian:

$w\left(x\right)=x^2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$

Liczby $3$ i $-3$ są pierwiastkami  wielomianu $w$ stopnia pierwszego, a więc w tych  $x$ wykres przechodzi przez oś poziomą.

Liczba $0$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ stopnia drugiego, a więc w $x=0$ wykres odbije się od osi poziomej

Naszkicujmy wykres tego wielomianu. Rysowanie zaczniemy od prawej strony od góry:

Rozwiązaniem nierówności są te argumenty, dla których wykres funkcji leży nad osią poziomą lub na niej. Zatem ostatecznie:

$x\in \left(-\infty ,-3\right]\cup \left\{0\right\}\cup [3,\infty )$

---

c)

Rozwiążmy nierówność:

$2x^5<4x^3|-4x^3$

$2x^5-4x^3<0$

$2x^3\left(x^2-2\right)<0$

$2x^3\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)<0$

W tym celu rozważmy wielomian:

$w\left(x\right)=2x^3\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)<0$

Liczby $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ są pierwiastkami  wielomianu $w$ stopnia pierwszego, a więc w tych  $x$ wykres przechodzi przez oś poziomą.

Liczba $0$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ stopnia trzeciego, a więc w $x=0$ wykres również przechodzi przez oś poziomą.

Naszkicujmy wykres tego wielomianu. Rysowanie zaczniemy od prawej strony od góry:

Rozwiązaniem nierówności są te argumenty, dla których wykres funkcji leży pod osią poziomą. Zatem ostatecznie:

$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{2}\right)\cup \left(0,\sqrt{2}\right)$

---

d)

Rozwiążmy nierówność:

$x^4+9>6x^2|-6x^2$

$x^4-6x^2+9>0$

${\left(x^2-3\right)}^2>0$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, a jest dodatni dla wszystkich liczb z wyłączeniem zera. Zatem:

$x^2-3\ne 0|+3$

$x^2\ne 3$

$x\ne \sqrt{3}\wedge x\ne -\sqrt{3}$

Zatem ostatecznie:

$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$