a)

Wiemy, że wielomian $w$ jest stopnia $4$.

Ponadto liczby $0$, $1$, $2$ i $4$ są pierwiastkami  wielomianu $w$ stopnia nieparzystego  (czyli w tym wypadku stopnia pierwszego) ponieważ w tych  $x$ wykres "przechodzi" przez oś poziomą.

Zatem:

$w\left(x\right)=ax\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)$

Ponadto wykres wielomianu $w$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(3,-2\right)$, a więc:

$w\left(3\right)=-2$

$a\cdot 3\cdot \left(3-1\right)\left(3-2\right)\left(3-4\right)=-2$

$a\cdot 3\cdot \left(-2\right)\cdot 1\cdot \left(-1\right)=-2$

$6a=-2|:6$

$a=-\frac{1}{3}$

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=-\frac{1}{3}x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)$

---

b)

Wiemy, że wielomian $w$ jest stopnia $4$.

Zauważmy, że punkty o współrzędnych:

$\left(-2,2\right)$, $\left(-1,2\right)$, $\left(0,2\right)$ oraz $\left(2,2\right)$

należą do wykresu tej funkcji. Jest to zatem wykres funkcji:

$y=a\left(x+2\right)\left(x+1\right)\cdot x\cdot \left(x-2\right)$

przesunięty o dwie jednostki w górę, a więc:

$w\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x+1\right)\cdot x\cdot \left(x-2\right)+2$

Ponadto wykres wielomianu $w$ przechodzi przez punkt o współrzędnych $\left(1,-4\right)$, a więc:

$w\left(1\right)=-4$

$a\left(1+2\right)\left(1+1\right)\cdot 1\cdot \left(1-2\right)+2=-4$

$a\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \left(-1\right)+2=-4$

$-6a=-6|:\left(-6\right)$

$a=1$

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=x\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)+2$