a)

Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=4x^4+a{x}^3+x^2+3x$

Skoro punkt $P\left(1,0\right)$ należy do wykresu tego wielomianu, to zachodzi:

$w\left(1\right)=0$

$4\cdot 1^4+a\cdot 1^3+1^2+3\cdot 1=0$

$4+a+1+3=0$

$a+8=0|-8$

$a=-8$

---

---

b)

Zapiszmy wzór wielomianu $w$:

$w\left(x\right)=4x^4-8x^3+x^2+3x$

Podzielmy wielomian $w$ przez dwumian $2x+1$. Mamy:

$\begin{array}{l}2x^3-5x^2+3x\\ \overline{\left(4x^4-8x^3+x^2+3x\right)}:\left(2x+1\right)\\ \underline{-4x^4-2x^3}\\ -10x^3+x^2+3x\\ \underline{+10x^2+5x^2}\\ 6x^2+3x\\ \underline{-6x^2-3x}\\ 0\end{array}$

Skoro reszta z dzielenia wielomianu $w$ przez ten dwumian wynosi $0$, to wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $2x+1$, co należało wykazać.

---

Podzielmy wielomian $w$ przez dwumian $2x-3$. Mamy:

$\begin{array}{l}2x^3-1x^2-x\\ \overline{\left(4x^4-8x^3+x^2+3x\right)}:\left(2x-3\right)\\ \underline{-4x^4+6x^3}\\ -2x^3+x^2+3x\\ \underline{+2x^2-3x^2}\\ -2x^2+3x\\ \underline{+2x^2-3x}\\ 0\end{array}$

Skoro reszta z dzielenia wielomianu $w$ przez ten dwumian wynosi $0$, to wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $2x-3$, co należało wykazać.

---

---

c)

Zapiszmy wzór wielomianu $u$:

$u\left(x\right)=w\left(x\right)-1=4x^4-8x^3+x^2+3x-1$

Podzielmy wielomian $w$ przez dwumian $2x-1$. Mamy:

$\begin{array}{l}2x^3-3x^2-x+1\\ \overline{\left(4x^4-8x^3+x^2+3x-1\right)}:\left(2x-1\right)\\ \underline{-4x^4+2x^3}\\ -6x^3+x^2+3x-1\\ \underline{+6x^2-3x^2}\\ -2x^2+3x-1\\ \underline{+2x^2-x}\\ 2x-1\\ \underline{-2x+1}\\ 0\end{array}$

Skoro reszta z dzielenia wielomianu $u$ przez ten dwumian wynosi $0$, to wielomian $u$ jest podzielny przez dwumian $2x-1$, co należało wykazać.