Dany jest wielomian:

$w\left(x\right)=\left(p^2{x}^2-1\right)\left(x+p\right)$

Zapiszmy go w innej postaci:

$w\left(x\right)=\left(p^2{x}^2-1\right)\left(x+p\right)=p^2{x}^3+p^3{x}^2-x-p$

---

a)

Aby wielomian $w$ był stopnia trzeciego, musi zachodzić:

$p^2\ne 0$  

$p\ne 0$

Zatem wielomian $w$ jest stopnia trzeciego dla:

$p\ne 0$

---

b)

Aby wielomian $w$ był stopnia drugiego, musi zachodzić:

$p^2=0$   oraz   $p^3\ne 0$

Z pierwszego warunku mamy, że $p=0$, a z drugiego, że $p\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$. Nie istnieje liczba rzeczywista spełniająca oba te warunki, a więc nie istnieje $p$ takie, że $st.\left(w\right)=2$.

---

c)

Aby wielomian $w$ był stopnia pierwszego, musi zachodzić:

$p^2=0$   oraz   $p^3=0$   

Z pierwszego warunku mamy, że $p=0$, a z drugiego, że $p=0$. 

Zatem wielomian $w$ jest stopnia pierwszego dla:

$p=0$

---

b)

Aby wielomian $w$ był stopnia drugiego, musi zachodzić:

$p^2=0$   oraz   $p^3\ne 0$   oraz  $-1=0$

Ostatnie z równań jest sprzeczne. Zatem nie istnieje $p$ takie, że $st.\left(w\right)=0$.