Liczby x1 i x2 są pierwiastkami...- Zadanie 5: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Uwaga! Odpowiedź do podpunktu c) zamieszczona w podręczniku jest błędna.

Wiemy, że:

$s = x_{1} + x_{2}$

$p = x_{1} \cdot x_{2}$

Dane jest wyrażenie:

$\frac{1}{x _{1}^{2} x _{2}} + \frac{1}{x _{1} x _{2}^{2}}$

Zapiszmy je z pomocą $s$ i $p$ . Mamy:

$\frac{1}{x _{1}^{2} x _{2}} + \frac{1}{x _{1} x _{2}^{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1}^{2} x _{2}^{2}} + \frac{x _{2}}{x _{1}^{2} x _{2}^{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1}^{2} x _{2}^{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{( x _{1} x _{2} ) ^{2}} = \frac{s}{p ^{2}}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\frac{1}{x _{1}^{2} x _{2}} + \frac{1}{x _{1} x _{2}^{2}} = \frac{s}{p ^{2}}$

Dane jest wyrażenie:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$

Zapiszmy je z pomocą $s$ i $p$ . Mamy:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) = (x_{1} + x_{2}) (x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} - 3 x_{1} x_{2}) =$

$= (x_{1} + x_{2}) ((x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}) = s \cdot (s^{2} - 3 p) = s^{3} - 3 p s$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = s^{3} - 3 p s$

Dane jest wyrażenie:

$\frac{1}{x _{1}^{3}} + \frac{1}{x _{2}^{3}}$

Zapiszmy je z pomocą $s$ i $p$ . Mamy:

$\frac{1}{x _{1}^{3}} + \frac{1}{x _{2}^{3}} = \frac{x _{2}^{3}}{x _{1}^{3} x _{2}^{3}} + \frac{x _{1}^{3}}{x _{1}^{3} x _{2}^{3}} = \frac{x _{1}^{3} + x _{2}^{3}}{x _{1}^{3} x _{2}^{3}} = \dots$