a)

Dziedzina podanego równania to:

$x+8⩾0$

$x⩾-8$

Rozwiążmy równanie:

$x+8-7\sqrt{x+8}+12=0$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{x+8}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{x+8}=t\to x+8=t^2\to x=t^2-8$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$t^2-8+8-7t+12=0$

$t^2-7t+12=0$

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$t_1=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3$

$t_2=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4$

Wracając do podstawienia, mamy:

$t=3\vee t=4$

$\sqrt{x+8}=3\vee \sqrt{x+8}=4$ 

$x+8=9\vee x+8=16$

$x=1\vee x=8$

---

b)

Dziedzina podanego równania to:

$x+5⩾0$

$x⩾-5$

Rozwiążmy równanie:

$x+5+\sqrt{x+5}=30$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{x+5}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{x+5}=t\to x+5=t^2\to x=t^2-5$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$t^2-5+5+t=30|-30$

$t^2+t-30=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)=1+120=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

$t_1=\frac{-1-11}{2}=\frac{-12}{2}=-6$

$t_2=\frac{-1+11}{2}=\frac{10}{2}=5$

Odrzucamy $t=-6$, ponieważ z założenia $t⩾0$. Wracając do podstawienia, mamy:

$t=5$

$\sqrt{x+5}=5$ 

$x+5=25|-5$

$x=20$

---

c)

Dziedzina podanego równania to:

$x-9⩾0$

$x⩾9$

Rozwiążmy równanie:

$4\sqrt{x-9}+x=14$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{x-9}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{x-9}=t\to x-9=t^2\to x=t^2+9$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$4t+t^2+9=14|-14$

$t^2+4t-5=0$

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$

$\sqrt{\Delta }=6$

$t_1=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$t_2=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1$

Odrzucamy $t=-4$, ponieważ z założenia $t⩾0$. Wracając do podstawienia, mamy:

$t=1$

$\sqrt{x-9}=1$ 

$x-9=1|+9$

$x=10$

---

d)

Dziedzina podanego równania to:

$3-x⩾0$

$-x⩾-3$

$x⩽3$

Rozwiążmy równanie:

$4x+3\sqrt{3-x}-12=0$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{3-x}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{3-x}=t\to 3-x=t^2\to -x=t^2-3\to x=-t^2+3$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$4\left(-t^2+3\right)+3t-12=0$

$-4t^2+12+3t-12=0$

$-4t^2+3t=0$

$t\left(-4t+3\right)=0$

$t=0\vee -4t+3=0$

$t=0\vee -4t=-3$

$t=0\vee t=\frac{3}{4}$

Wracając do podstawienia, mamy:

$\sqrt{3-x}=0\vee \sqrt{3-x}=\frac{3}{4}$

$3-x=0\vee 3-x=\frac{9}{16}$

$3=x\vee x=3-\frac{9}{16}$

$x=3\vee x=2\frac{7}{16}$

---

e)

Dziedzina podanego równania to:

$x+5⩾0$

$x⩾-5$

Rozwiążmy równanie:

$x+8+4\sqrt{x+5}=0$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{x+5}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{x+5}=t\to x+5=t^2\to x=t^2-5$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$t^2-5+8+4t=0$

$t^2+4t+3=0$

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$t_1=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$t_2=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Odrzucamy $t=-3$ oraz $t=-1$, ponieważ z założenia $t⩾0$. Zatem wyjściowe równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

---

f)

Dziedzina podanego równania to:

$x+6⩾0$

$x⩾-6$

Rozwiążmy równanie:

$9x+54-12\sqrt{x+6}+4=0$

Zastosujmy podstawienie:

$\sqrt{x+6}=t$, gdzie $t⩾0$

Wtedy:

$\sqrt{x+6}=t\to x+6=t^2\to x=t^2-6$

Zatem wtedy równanie przyjmuje postać:

$9\cdot \left(t^2-6\right)+54-12t+4=0$

$9t^2-54+54-12t+4=0$

$9t^2-12t+4=0$

${\left(3t\right)}^2-2\cdot 3t\cdot 2+2^2=0$

${\left(3t-2\right)}^2=0$

$3t-2=0|+2$

$3t=2|:3$

$t=\frac{2}{3}$

Wracając do podstawienia, mamy:

$\sqrt{x+6}=\frac{2}{3}$

$x+6=\frac{4}{9}|-6$

$x=-5\frac{5}{9}$