Korzystamy z faktów:

- jeśli $a>1$, to ${\log }_{a}b<0$ dla $0<b<1$ oraz ${\log }_{a}b>0$ dla $b>1$

- jeśli $0<a<1$, to nierówności się odwracają: ${\log }_{a}b>0$ dla $0<b<1$ oraz ${\log }_{a}b<0$ dla $b>1$

---

a)

Podstawa $1,1>1$, a argument $0,9<1$, więc $x={\log }_{1,1}0,9<0$.

---

b)

Podstawa $0,1\in (0,1)$, a argument $0,2<1$, więc $x={\log }_{0,1}0,2>0$.

---

c)

${\log }_{1,5}0,5<0$ (bo $1,5>1$ i $0,5<1$), zatem $x=-3{\log }_{1,5}0,5>0$.

---

d)

Mamy $1,2^{-10}={\left(\frac{1}{1,2}\right)}^{10}<1$ oraz $0,6\in (0,1)$, więc $x={\log }_{0,6}\left(1,2^{-10}\right)>0$.

---

e)

$x={\log }_{12}3+{\log }_{12}0,4={\log }_{12}(3\cdot 0,4)={\log }_{12}1,2$. Ponieważ $12>1$ i $1,2>1$, to $x>0$.

---

f)

$x=4+{\log }_{0,5}18={\log }_{0,5}{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+{\log }_{0,5}18={\log }_{0,5}\left(\frac{18}{16}\right)={\log }_{0,5}\left(\frac{9}{8}\right)$

$0,5\in \left(0,1\right)$

$\frac{9}{8}>1$

A więc:

$x<0$

Ponieważ $16<18<32$, więc $4<{\log }_{2}18<5$, zatem $-1<4-{\log }_{2}18<0$, czyli $x<0$.