Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $x_1$, $x_2$ tego samego znaku, gdy:

$\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ x_1\cdot x_2>0\end{array}$

Spójrzmy na pierwszy warunek:

$2-m\ne 0$

$\underline{m\ne 2}$

Zajmijmy się teraz drugim warunkiem:

$\Delta >0$

Obliczamy:

$\Delta ={\left(-2\left(2m+1\right)\right)}^2-4\cdot \left(2-m\right)\cdot (m+8)=$

$=4\left(4m^2+4m+1\right)-4\left(2m+16-m^2-8m\right)=$

$=16m^2+16m+4-8m-64+4m^2+32m=$

$=20m^2+40m-60$

Otrzymujemy więc nierówność:

$20m^2+40m-60>0|:20$

$m^2+2m-3>0$

${\Delta }_m=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

${\sqrt{\Delta }}_m=\sqrt{16}=4$

$m_1=\frac{-2-4}{2\cdot 1}=-\frac{6}{2}=-3$

$m_2=\frac{-2+4}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

Wykresem funkcji $y=m^2+2m-3$ jest parabola z ramionami do góry, bo współczynnik przy $m^2$ jest dodatni.

Rysunek pomocniczy:

Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie dla:

$\underline{m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,\infty \right)}$

Zajmijmy się teraz trzecim warunkiem:

$x_1\cdot x_2>0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Stąd:

$x_1\cdot x_2=\frac{m+8}{2-m}$

Otrzymujemy więc nierówność:

$\frac{m+8}{2-m}>0|\cdot {\left(2-m\right)}^2,m\ne 2$

$\left(m+8\right)\left(2-m\right)>0$

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $y=\left(m+8\right)\left(2-m\right)$:

$m+8=0\vee 2-m=0$

$m=-8\vee m=2$

Wykresem funkcji $y=\left(m+8\right)\left(2-m\right)$ jest parabola z ramionami do dołu, bo współczynnik przy $m^2$ jest ujemny.

Rysunek pomocniczy:

Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie dla:

$\underline{m\in \left(-8,2\right)}$

Otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,\infty \right)\\ m\in \left(-8,2\right)\end{array}$

Rysunek pomocniczy:

Czyli funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe tego samego znaku, gdy:

$\underline{\underline{m\in \left(-8,-3\right)\cup \left(1,2\right)}}$

Musimy jeszcze uwzględnić ostatni warunek podany w treści zadania:

${\left(x_1-x_2\right)}^2\le 180$

Skorzystamy ze wzorów Viète'a, więc przekształćmy najpierw lewą stronę nierówności.

Ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy dostajemy:

${{\left(x_1-x_2\right)}^2={\left(x_1\right)}^2-2x_1{x}_2+{\left(x_2\right)}^2=\underset{(x_1{)}^2+2x_1{x}_2+(x_2{)}^2}{\underbrace{(x_1+x_2{)}^2}}-2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2$

Czyli zamiast powyższej nierówności mamy nierówność:

${\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\le 180$

Korzystamy teraz ze wzorów Viète'a:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}\text{i}{x}_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Otrzymujemy:

${\left(-\frac{-2\left(2m+1\right)}{2-m}\right)}^2-4\cdot \frac{m+8}{2-m}\le 180$

${\left(\frac{2\left(2m+1\right)}{2-m}\right)}^2-4\cdot \frac{m+8}{2-m}\le 180$

$\frac{4\left(4m^2+4m+1\right)}{{\left(2-m\right)}^2}-\frac{4\left(m+8\right)}{2-m}\le 180|\cdot {\left(2-m\right)}^2,m\ne 2$

$4\left(4m^2+4m+1\right)-4\left(m+8\right)\left(2-m\right)\le 180{\left(2-m\right)}^2|:4$

$4m^2+4m+1-\left(2m-m^2+16-8m\right)\le 45\left(4-4m+m^2\right)$

$4m^2+4m+1-2m+m^2-16+8m\le 180-180m+45m^2$

$4m^2+m^2-45m^2+4m-2m+8m+1-16-180\le 0$

$-40m^2+190m-195\le 0|:5$

$-8m^2+38m-39\le 0$

$\Delta =38^2-4\cdot \left(-8\right)\cdot \left(-39\right)=1444-1248=196$

$\sqrt{\Delta }=14$

$m_1=\frac{-38-14}{2\cdot \left(-8\right)}=\frac{-52}{-16}=\frac{13}{4}=3\frac{1}{4}$

$m_2=\frac{-38+14}{2\cdot \left(-8\right)}=\frac{-24}{-16}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

Wykresem funkcji $y=-8m^2+38m-39$ jest parabola z ramionami do dołu, bo współczynnik przy $m^2$ jest ujemny.

Rysunek pomocniczy:

Funkcja ta przyjmuje wartości niedodatnie dla:

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ,1\frac{1}{2}\right]\cup \left[3\frac{1}{4},\infty \right)}}$

Ostatecznie:

$\{\begin{array}{l}m\in \left(-8,-3\right)\cup \left(1,2\right)\\ m\in \left(-\infty ,1\frac{1}{2}\right]\cup \left[3\frac{1}{4},+\infty \right)\end{array}$

Rysunek pomocniczy:

Czyli:

$\underline{m\in \left(-8,-3\right)\cup \left(1,1\frac{1}{2}\right]}$