Aby równanie miało dwa różne rozwiązania powinna zachodzić nierówność:

$\Delta >0$  

Mamy:  

$$\begin{gathered} \Delta ={\left[-\left(3m+2\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot \left(2m^2+7m-15\right)={\left(3m+2\right)}^2-8m^2-28m+60= \\ =9m^2+2\cdot 3m\cdot 2+4-8m^2-28m+60=m^2-16m+64=m^2-\underset{16m}{\underbrace{2\cdot m\cdot 8}}+8^2={\left(m-8\right)}^2 \end{gathered}$$ 

Zatem otrzymujemy nierówność:

${\left(m-8\right)}^2>0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest kwadratem pewnej liczby. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem powyższa nierówność sprowadza się do:

$m-8\ne 0$   

Otrzymujemy założenie:

$\underline{m\ne 8}\left(\ast \right)$  

---

Rozważamy warunek podany w treści zadania

$2x_1^2+5x_1{x}_2+2x_2^2=2$  

Przekształcamy lewą stronę równości. Korzystamy ze wzorów Viète’a

$$\begin{gathered} 2x_1^2+5x_1{x}_2+2x_2^2=2x_1^2+\underset{5x_1{x}_2}{\underbrace{4x_1{x}_2+x_1{x}_2}}+2x_2^2=2\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)+x_1{x}_2= \\ =2{\left(x_1+x_2\right)}^2+x_1{x}_2=2{\left(-\frac{b}{a}\right)}^2+\frac{c}{a}=\frac{2b^2}{a^2}+\frac{c}{a}=2\cdot \frac{{\left(3m+2\right)}^2}{1^2}+\frac{2m^2+7m-15}{1}= \\ =2{\left(3m+2\right)}^2+2m^2+7m-15 \end{gathered}$$

Zatem otrzymujemy równanie:

$2{\left(3m+2\right)}^2+2m^2+7m-15=2$  

$2\left(9m^2+2\cdot 3m\cdot 2+4\right)+2m^2+7m-15-2=0$  

$18m^2+24m+8+2m^2+7m-17=0$  

$20m^2+31m-9=0$   

${\Delta }_m={31}^2-4\cdot 20\cdot \left(-9\right)=961+720=1681,\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{1681}=41$  

$m=\frac{-31-41}{2\cdot 20}=\frac{-72}{40}=-\frac{9}{5}\vee m=\frac{-31+41}{40}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$  

Zatem

$\underline{m\in \left\{-\frac{9}{5},\frac{1}{4}\right\}}$  

---

Uwzględniając warunek $\left(\ast \right)$ otrzymujemy rozwiązanie zadania.

Zatem:

$\underline{\underline{m=-\frac{9}{5}\vee m=\frac{1}{4}}}$