Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Obwód trójkąta wynosi $10$, zatem:

$a+b+c=10$

$a+b=10-c$

Załóżmy, że bok $c$ jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc:

$c\ge b\ge a$

Wtedy z warunku istnienia trójkąta możemy zapisać, że:

$a+b>c$

$10-c>c$

$10>2c|:2$

$c<5$

W treści zadania podano, że długości boków trójkąta wyrażają się liczbami naturalnymi, więc długość boku $c$ może być równa $1$, $2$, $3$ lub $4$. Łatwo możemy zauważyć, że dla $c=1$, $c=2$ i $c=3$ bok $c$ nie może być najdłuższym bokiem trójkąta, bo wówczas jeden z boków trójkąta $a$ lub $b$ musi mieć większą długość, by obwód trójkąta był równy $10$. Stąd:

$c=4$

Wtedy:

$a+b=10-4=6$

Możliwe są, więc dwa przypadki:

1)

$c=4,b=4,a=2$

2)

$c=4,b=3,a=3$

Obliczmy miary kątów tego trójkąta dla przypadku 1). Korzystając z twierdzenia cosinusów wyznaczmy miarę kąta $\alpha$:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$2^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos \alpha$

$4=16+16-32\cos \alpha$

$4=32-32\cos \alpha$

$32\cos \alpha =32-4$

$32\cos \alpha =28$

$\cos \alpha =\frac{28}{32}$

$\cos \alpha =\frac{7}{8}$

$\cos \alpha =0,875$

Korzystając z kalkulatora naukowego otrzymujemy, że:

$\alpha \approx 29,0^{\circ }$

Z faktu, że $b=c$ mamy, iż $\beta =\gamma$. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi $180^{\circ }$, więc:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

$29^{\circ }+\beta +\beta \approx 180^{\circ }$

$2\beta \approx 180^{\circ }-29^{\circ }$

$2\beta \approx 151^{\circ }|:2$

$\beta \approx 75,5^{\circ }$

czyli:

$\gamma \approx 75,5^{\circ }$

Obliczmy miary kątów tego trójkąta dla przypadku 2). Korzystając z twierdzenia cosinusów wyznaczmy miarę kąta $\alpha$:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$3^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos \alpha$

$9=9+16-24\cos \alpha$

$9=25-24\cos \alpha$

$24\cos \alpha =25-9$

$24\cos \alpha =16$

$\cos \alpha =\frac{16}{24}$

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$

$\cos \alpha \approx 0,667$

Korzystając z kalkulatora naukowego otrzymujemy, że:

$\alpha \approx 48,2^{\circ }$

Z faktu, że $a=b$ mamy, iż $\alpha =\beta$. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi $180^{\circ }$, więc:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

$48,2^{\circ }+48,2^{\circ }+\gamma \approx 180^{\circ }$

$96,4^{\circ }+\gamma \approx 180^{\circ }$

$\gamma \approx 180^{\circ }-96,4^{\circ }$

$\gamma \approx 83,6^{\circ }$

Zatem otrzymaliśmy, że istnieją dwa trójkąty spełniające warunki zadania: jeden o bokach długości: $2$, $4$, $4$ i miarach kątów około $29^{\circ }$, $75,5^{\circ }$, $75,5^{\circ }$, a drugi o bokach długości: $3$, $3$ i $4$ oraz miarach kątów około $48,2^{\circ }$, $48,2^{\circ }$, $83,6^{\circ }$.