Wyznacz miarę kąta...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Kąt o mierze $7 0^{\circ}$ jest kątem środkowym okręgu o środku $O$ opartym na łuku $A B$ . Kąt o mierze $α$ jest kątem wpisanym okręgu o środku $O$ opartym na łuku $A B$ .

Jeżeli kąt wpisany w okrąg jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy, to miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego, a więc:

$α = \frac{7 0 ^{\circ}}{2} = 3 5^{\circ}$

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Kąt $A O_{2} B$ jest kątem środkowym okręgu o środku $O_{2}$ opartym na łuku $A B$ . Kąt o mierze $4 3^{\circ}$ jest kątem wpisanym okręgu o środku $O_{2}$ opartym na łuku $A B$ .

Jeżeli kąt wpisany w okrąg jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy, to miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego, a więc:

$∣ ∢ A O_{2} B ∣ = 2 \cdot 4 3^{\circ} = 8 6^{\circ}$

A więc:

$∣ ∢ D O_{2} E ∣ = ∣ ∢ A O_{2} B ∣ = 8 6^{\circ}$

Kąt $D O_{1} E$ jest kątem środkowym okręgu o środku $O_{1}$ opartym na łuku $D E$ . Kąt $D O_{2} E$ jest kątem wpisanym okręgu o środku $O_{1}$ opartym na łuku $D E$ .

Jeżeli kąt wpisany w okrąg jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy, to miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego, a więc:

$∣ ∢ D O_{1} E ∣ = 2 \cdot ∣ ∢ D O_{2} E ∣ = 2 \cdot 8 6^{\circ} = 17 2^{\circ}$

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Kąt o mierze $4 4^{\circ}$ jest kątem środkowym okręgu o środku $O_{2}$ opartym na łuku $BC$ . Kąt $B O_{1} C$ jest kątem wpisanym okręgu o środku $O_{2}$ opartym na łuku $BC$ .

Jeżeli kąt wpisany w okrąg jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy, to miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego, a więc:

$∣ ∢ B O_{1} C ∣ = \frac{4 4 ^{\circ}}{2} = 2 2^{\circ}$

Zatem:

$∣ ∢ D O_{1} O_{2} ∣ = ∣ ∢ B O_{1} C ∣ = 2 2^{\circ}$

Kąt $D O_{1} O_{2}$ jest kątem środkowym okręgu o środku $O_{1}$ opartym na łuku $D O_{2}$ . Kąt $D A O_{2}$ jest kątem wpisanym okręgu o środku $O_{1}$ opartym na łuku $D O_{2}$ .