a)

Wiemy, że:

$a=8\mathrm{cm}$

Obliczmy promień koła wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\left[\mathrm{cm}\right]$

Obliczmy pole tego koła:

$P=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\pi \cdot \frac{16\cdot 3}{9}=\frac{16}{3}\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

---

b)

Wiemy, że obwód koła opisanego na tym trójkącie jest równy $12\pi \text{cm}$, czyli:

$2\pi R=12\pi |:2\pi$

$R=6\left[\mathrm{cm}\right]$

Obliczmy wysokość tego trójkąta:

$R=\frac{2}{3}h$

czyli:

$6=\frac{2}{3}h|\cdot \frac{3}{2}$

$h=6\cdot \frac{3}{2}=9$

Obliczmy promień koła wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot 9=3$

Obliczmy pole tego koła:

$P=\pi r^2=\pi \cdot 3^2=9\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

---

c)

Obliczmy długość boku trójkąta równobocznego, znając jego pole:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$49\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}|:\sqrt{3}$

$49=\frac{a^2}{4}|\cdot 4$

$a^2=49\cdot 4|\sqrt{},a>0$

$a=7\cdot 2=14$

Obliczmy promień koła wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{14\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\left[\mathrm{cm}\right]$

Obliczmy pole tego koła:

$P=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\pi \cdot \frac{49\cdot 3}{9}=\frac{49}{3}\pi \left[{\mathrm{cm}}^2\right]$