Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD...- Zadanie 5: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Nanieśmy na rysunek pomocnicze oznaczenia:

Zauważmy, że:

$P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD}$

zatem:

$\frac{100 + 400}{2} \cdot 75 = \frac{y + 400}{2} \cdot x + \frac{100 + y}{2} \cdot (75 - x)$

Wyznaczmy z powyższego równania zmienną $y$ za pomocą zmiennej $x$ :

$\frac{500}{2} \cdot 75 = \frac{1}{2} x y + 200 x + (50 + \frac{1}{2} y) (75 - x)$

$18750 = \frac{1}{2} x y + 200 x + 3750 - 50 x + 37, 5 y - \frac{1}{2} x y$

$18750 = 150 x + 37, 5 y + 3750 ∣ - 150 x - 3750$

$37, 5 y = 15000 - 150 x ∣ : 37, 5$

$y = 400 - 4 x$

Powierzchnia wydzielonego placu to pole prostokąta o wymiarach $x \times y$ , zatem:

$P = x \cdot y = x \cdot (400 - 4 x) = - 4 x^{2} + 400 x$

Wobec tego powierzchnia jest funkcją długości boku $x$ :

$P (x) = - 4 x^{2} + 400 x$

Wyznaczamy dziedzinę tej funkcji. Długości boków prostokąta są dodatnie, zatem zakładamy, że:

$x > 0 \land y > 0$

$x > 0 \land 400 - 4 x > 0$

$x > 0 \land x < 100$

Stąd:
$x \in (0, 100)$

Zatem dziedziną funkcji $P (x)$ jest zbiór:

$D = (0, 100)$

Wyznaczamy $x$ , dla którego powierzchnia prostokąta jest największa, zatem szukamy wartości największej funkcji $P (x)$ .

Funkcja $P$ jest funkcją kwadratową. Ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $P$ , są skierowane do dołu, więc największą wartość ta funkcja przyjmuje w wierzchołku paraboli.

Sprawdzamy, czy pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do dziedziny funkcji $P$ :

$p = \frac{- 400}{2 \cdot ( - 4 )} = \frac{- 400}{- 8} = 50 \in (0, 100)$

Oznacza to, że największą wartość funkcja $P$ przyjmuje dla:

$x = 50 [m]$

Wtedy długość boku $y$ jest równa:

$y = 400 - 4 x = 400 - 4 \cdot 50 = 400 - 200 = 200 [m]$

Wyznaczmy jeszcze pole tego prostokąta:

$P = x \cdot y = 50 \cdot 200 = 10000 [m^{2}]$

Odp.: Powierzchnia wydzielonego placu jest największa, gdy prostokąt ma wymiary $50 m \times 200 m$ . Wtedy jego powierzchnia będzie równa $10000 m^{2}$ .