a)

$\frac{x-4}{x+2}\cdot \frac{x}{x+1}=0$

Dziedzina:

$x+2\ne 0\wedge x+1\ne 0$

$x\ne -2x\ne -1$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,-1\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{\left(x-4\right)\cdot x}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=0$

$\left(x-4\right)\cdot x=0$

$x-4=0\vee x=0$

$x=4$

$x\in \left\{0,4\right\}$

---

b)

$\frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{2x-1}{x^2-1}=0$

Dziedzina:

$x^2+1\ne 0\wedge x^2-1\ne 0$

$x^2\ne -1x^2\ne 1$

$x\ne 1\wedge x\ne -1$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-1,1\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{x\left(2x-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}=0$

$x\left(2x-1\right)=0$

$x=0\vee 2x-1=0$

$x=\frac{1}{2}$

$x\in \left\{0,\frac{1}{2}\right\}$

---

c)

$\frac{x-2}{x+1}\cdot \frac{x+2}{x^2+4}=0$

Dziedzina:

$x+1\ne 0\wedge x^2+4\ne 0$

$x\ne -1x^2\ne -4$

$x\in \mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}=0$

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

$x=2\vee x=-2$

$x\in \left\{-2,2\right\}$

---

d)

$\frac{x+3}{x}\cdot \frac{2x+3}{x^2-9}=0$

Dziedzina:

$x\ne 0\wedge x^2-9\ne 0$

$x^2\ne 9$

$x\ne 3\wedge x\ne -3$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-3,0,3\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{\left(x+3\right)\left(2x+3\right)}{x\left(x^2-9\right)}=0$

$\left(x+3\right)\left(2x+3\right)=0$

$x=-3\notin D\vee x=-\frac{3}{2}$

$x=-\frac{3}{2}$

---

e)

$\frac{x}{x^2+4}:\frac{x+1}{x^2+4}=0$

Dziedzina:

$x^2+4\ne 0\wedge x+1\ne 0$

$x^2\ne -4x\ne -1$

$x\in \mathbb{R}$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{x}{\cancel{x^2+4}}\cdot \frac{\cancel{x^2+4}}{x+1}=0$

$\frac{x}{x+1}=0$

$x=0$

---

f)

$\frac{x\left(x+1\right)}{x-1}:\frac{x^2-1}{x}=0$

Dziedzina:

$x-1\ne 0\wedge x\ne 0\wedge x^2-1\ne 0$

$x\ne 1x^2\ne 1$

$x\ne 1\wedge x\ne -1$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-1,0,1\right\}$

Rozwiążmy to równanie:

$\frac{x\left(x+1\right)}{x-1}\cdot \frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0$

$\frac{x^2}{{\left(x-1\right)}^2}=0$

$x^2=0$

$x=0\notin D$

Równanie sprzeczne, $x\in \varnothing$