Wykonaj działania. Odpowiedź...- Zadanie 5: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$\frac{3}{2 x ^{2} + 6 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x} - \frac{2}{x + 1}$

Dziedzina:

$2 x^{2} + 6 x + 4 \neq = 0 \land x^{2} + 2 x \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$2 (x^{2} + 3 x + 2) \neq = 0 \land x (x + 2) \neq = 0 x \neq = - 1$

$2 (x + 1) (x + 2) \neq = 0 x \neq = 0 \land x \neq = - 2$

$x \neq = - 1 x \neq = - 2$

$x \in R ∖ {- 2, - 1, 0}$

Wykonajmy działania:

$\frac{3}{2 x ^{2} + 6 x + 4} + \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{2 ( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{2 x - 1}{x ( x + 2 )} - \frac{2}{x + 1} =$

$= \frac{3 \cdot x + 2 ( 2 x + 1 ) ( x + 1 ) - 2 \cdot 2 x ( x + 2 )}{2 x ( x + 1 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{3 x + 4 x ^{2} + 4 x + 2 x + 2 - 4 x ^{2} - 8 x}{2 x ( x + 1 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{x + 2}{2 x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{2 x ( x + 1 )}$

$\frac{x + 4}{x + 3} + \frac{x + 4}{x ^{2} - 3 x + 9} - \frac{10 x + 3}{x ^{3} + 27}$

Dziedzina:

$x + 3 \neq = 0 \land x^{2} - 3 x + 9 \neq = 0 \land x^{3} + 27 \neq = 0$

$x \neq = - 3 Δ = 9 - 4 \cdot 9 < 0 x^{3} \neq = - 27$

$x \neq = - 3$

$x \in R ∖ {- 3}$

Wykonajmy działania. W trzecim mianowniku skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

$\frac{x + 4}{x + 3} + \frac{x + 4}{x ^{2} - 3 x + 9} - \frac{10 x + 3}{x ^{3} + 27} = \frac{x + 4}{x + 3} + \frac{x + 4}{x ^{2} - 3 x + 9} - \frac{10 x + 3}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} =$

$= \frac{( x + 4 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 ) + ( x + 4 ) ( x + 3 ) - ( 10 x + 3 )}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} =$

$= \frac{x ^{3} - 3 x ^{2} + 9 x + 4 x ^{2} - 12 x + 36 + x ^{2} + 3 x + 4 x + 12 - 10 x - 3}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} =$

$= \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - 6 x + 45}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \dots$

Spróbujmy rozłożyć na czynniki licznik (może okazać się, że po rozkładzie na czynniki, któryś z czynników z licznika skróci się z czynnikiem z mianownika).

Grupowanie składników raczej nie zadziała. Oznaczmy zatem:

$W (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 45$

dzielniki wyrazu wolnego to $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15 \pm 45$

Wtedy:

$W (1) = 1 + 2 - 6 + 45 \neq = 0$

$W (- 1) = - 1 + 2 + 6 + 45 \neq = 0$

$W (3) = 27 + 18 - 18 + 45 \neq = 0$

$W (- 3) = - 27 + 18 + 18 + 45 \neq = 0$

$W (5) = 125 + 50 - 30 + 45 \neq = 0$

$W (- 5) = - 125 + 50 + 30 + 45 = 0$

A zatem wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $x + 5$ . Wyznaczmy resztę z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $x + 5$ . Użyjmy do tego schematu Hornera:

	$1$	$2$	$- 6$	$45$
$- 5$	$1$	$- 3$	$9$	$0$

Zatem:

$W (x) = (x + 5) (x^{2} - 3 x + 9)$

Wstawmy to wyrażenie do naszego ułamka:

$\dots = \frac{( x + 5 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{x + 5}{x + 3}$

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2 x}{x ^{2} + 4} + \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} - 16}$

Dziedzina:

$x - 2 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land x^{2} + 4 \neq = 0 \land x^{4} - 16 \neq = 0$

$x \neq = 2 x \neq = - 2 x^{2} \neq = - 4 (x^{2} + 4) (x^{2} - 4) \neq = 0$

$x \in R x \in R x \neq = 2 x \neq = - 2$

$x \in R ∖ {- 2, 2}$

Wykonajmy działania:

$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2 x}{x ^{2} + 4} + \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} - 16} = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} + \frac{2 x}{x ^{2} + 4} + \frac{4 x ^{3}}{( x ^{2} + 4 ) ( x ^{2} - 4 )} =$

$= \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x + 2 ) + ( x ^{2} + 4 ) ( x - 2 ) + 2 x ( x ^{2} - 4 ) + 4 x ^{3}}{( x ^{2} + 4 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 x + 8 + x ^{3} - 2 x ^{2} + 4 x - 8 + 2 x ^{3} - 8 x + 4 x ^{3}}{( x ^{2} + 4 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{8 x ^{3}}{x ^{4} - 16}$

$\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} + \frac{1}{( x + 3 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 5 )}$

Dziedzina:

$x \neq = - 1 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 3 \land x \neq = - 4 \land x \neq = - 5$

$x \in R ∖ {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1}$

Wykonajmy działania:

$\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )} + \frac{1}{( x + 3 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 5 )} =$

$= \frac{( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 4 ) ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 )} =$

$= \frac{( x ^{2} + 7 x + 12 ) ( x + 5 ) + ( x ^{2} + 5 x + 4 ) ( x + 5 ) + ( x ^{2} + 3 x + 2 ) ( x + 5 ) + ( x ^{2} + 3 x + 2 ) ( x + 3 )}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 )} =$

$= \frac{x ^{3} + 5 x ^{2} + 7 x ^{2} + 35 x + 12 x + 60 + x ^{3} + 5 x ^{2} + 5 x ^{2} + 25 x + 4 x + 20 + x ^{3} + 5 x ^{2} + 3 x ^{2} + 15 x + 2 x + 10 + x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x ^{2} + 9 x + 2 x + 6}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 )} =$

$= \frac{4 x ^{3} + 36 x ^{2} + 104 x + 96}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 )} = \dots$

Spróbujmy rozłożyć na czynniki wyrażenie w liczniku:

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 104 x + 96 = 4 \cdot W (x) (x^{3} + 9 x^{2} + 26 x + 24)$

dzielniki liczby $24$ to: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Jeśli pierwiastkiem wielomianu $W$ będzie jedna z liczb $- 5, - 4, - 3, - 2, - 1$ , to wielomian będzie podzielny przez taki dwumian, który skróci się z mianownikiem. Sprawdźmy, czy mamy szczęście:

$W (- 1) = - 1 + 9 - 26 + 24 \neq = 0$

$W (- 2) = - 8 + 36 - 52 + 24 = 0$

$W (- 3) = - 27 + 81 - 78 + 24 = 0$

$W (- 4) = - 64 + 144 - 104 + 24 = 0$

Wielomian $W$ jest stopnia $3$ , a my właśnie znaleźliśmy $3$ pierwiastki tego wielomianu: $- 2, - 3, - 4$ , co oznacza, że:

więcej już ich na pewno nie będzie (bo wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków)
wielomian $W$ jest podzielny przez dwumiany $x + 2$ , $x + 3$ , $x + 4$

Możemy zatem zapisać licznik jako:

$4 \cdot W (x) = 4 (x + 2) (x + 3) (x + 4)$

Czyli wyjściowy ułamek jest postaci:

$\dots = \frac{4 ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )}{( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 5 )} = \frac{4}{( x + 1 ) ( x + 5 )}$

$\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 6 )} + \frac{1}{( x + 6 ) ( x + 8 )}$

Dziedzina:

$x \neq = 0 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 4 \land x \neq = - 6 \land x \neq = - 8$

$x \in R ∖ {- 8, - 6, - 4, - 2, 0}$

Wykonajmy działania:

$\frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 4 )} + \frac{1}{( x + 4 ) ( x + 6 )} + \frac{1}{( x + 6 ) ( x + 8 )} =$

$= \frac{( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + x ( x + 6 ) ( x + 8 ) + x ( x + 2 ) ( x + 8 ) + x ( x + 2 ) ( x + 4 )}{x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 )} =$

$= \frac{( x ^{2} + 10 x + 24 ) ( x + 8 ) + x ( x ^{2} + 14 x + 48 ) + x ( x ^{2} + 10 x + 16 ) + x ( x ^{2} + 6 x + 8 )}{x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 )} =$

$= \frac{x ^{3} + 8 x ^{2} + 10 x ^{2} + 80 x + 24 x + 192 + x ^{3} + 14 x ^{2} + 48 x + x ^{3} + 10 x ^{2} + 16 x + x ^{3} + 6 x ^{2} + 8 x}{x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 )} =$

$= \frac{4 x ^{3} + 48 x ^{2} + 176 x + 192}{x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 )} = \dots$

Analogicznie jak w poprzednim podpunkcie, spróbujemy rozłożyć na czynniki wyrażenie w liczniku:

$4 x^{3} + 48 x^{2} + 176 x + 192 = 4 \cdot W (x) (x^{3} + 12 x^{2} + 44 x + 48)$

Sprawdźmy potencjalne pierwiastki, które pomogłyby skrócić nam wyrażenie:

$W (0) = 48 \neq = 0$

$W (- 2) = - 8 + 48 - 88 + 48 = 0$

$W (- 4) = - 64 + 192 - 176 + 48 = 0$

$W (- 6) = - 216 + 432 - 264 + 48 = 0$

A zatem, podobnie jak w poprzednim podpunkcie, stwierdzamy, że wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumiany $x + 2$ , $x + 4$ i $x + 6$ , czyli wyrażenie w liczniku możemy przedstawić jako: