Rozwiąż nierówność...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dana jest nierówność:

$\frac{x - 7}{x - 3} \geq 2$

Zacznijmy od założeń:

$x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

Pomnóżmy teraz tę nierówność obustronnie przez kwadrat mianownika:

$\frac{x - 7}{x - 3} \geq 2 ∣ \cdot (x - 3)^{2}$

Zatem otrzymujemy:

$(x - 7) (x - 3) \geq 2 (x - 3)^{2}$

$(x - 7) (x - 3) - 2 (x - 3)^{2} \geq 0$

$(x - 3) (x - 7 - 2 x + 6) \geq 0$

$(x - 3) (- x - 1) \geq 0$

$- (x - 3) (x + 1) \geq 0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową funkcji kwadratowej, z której możemy odczytać, że wykres to parabola o ramionach skierowanych do dołu, a jej miejsca zerowe to $3$ i $- 1$ . Wartości nieujemne ta funkcja przyjmuje na przedziale $[- 1, 3]$ . Musimy jednak pamiętać o wcześniejszym założeniu.

Mamy zatem:

$x \in [- 1, 3] \land x \neq = 3 ⟹ x \in [- 1, 3)$

Dana jest nierówność:

$\frac{1}{x} \leq x$

Założenie:

$x \neq = 0$

Pomnóżmy teraz tę nierówność obustronnie przez kwadrat mianownika:

$\frac{1}{x} \leq x ∣ \cdot x^{2}$

Otrzymujemy:

$x \leq x^{3}$

$0 \leq x^{3} - x$

$x^{3} - x \geq 0$

$x (x^{2} - 1) \geq 0$

$x (x - 1) (x + 1) \geq 0$

Aby rozwiązać tę nierówność, musimy naszkicować pomocniczy wykres. Funkcja po lewej stronie nierówności to wielomian z miejscami zerowymi $0$ , $1$ i $- 1$ . Każdy ten pierwiastek jest jednokrotny (więc wykres się w tamtych miejscach przebije na drugą stronę osi). Wykres zaczynamy rysować od prawej strony i od góry (od góry, bo współczynnik przy najwyższej potędze $x$ jest dodatni):