Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (połową kwadratu), więc długości jego boków to:

$\left|AB\right|=\left|AC\right|=a$

$\left|BC\right|=a\sqrt{2}$

Wiemy, że:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{1}{2}$

Czyli:

$\left|DB\right|=2\left|AD\right|$

Korzystamy z rysunku w książce i zauważamy, że:

$\left|AD\right|+\left|DB\right|=\left|AB\right|$

Podstawiamy i otrzymujemy, że:

$\left|AD\right|+2\left|AD\right|=a$

$3\left|AD\right|=a|:3$

$\left|AD\right|=\frac{1}{3}a$

Natomiast:

$\left|DB\right|=2\cdot \frac{1}{3}a=\frac{2}{3}a$

Rysunek pomocniczy:

---

Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny $ADC$.

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że:

${\left|AD\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left|CD\right|}^2$

${\left(\frac{1}{3}a\right)}^2+a^2=10^2$

$\frac{1}{9}{a}^2+a^2=100$

$\frac{10}{9}{a}^2=100|:\frac{10}{9}$

$a^2={\cancel{100}}^{10}\cdot \frac{9}{{\cancel{10}}_1}$

$a^2=90$

Długości są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{90}$

$a=\sqrt{9\cdot 10}$

$a=3\sqrt{10}$

---

Otrzymujemy, że:

$\left|AB\right|=\left|AC\right|=3\sqrt{10}$

$\left|BC\right|=3\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=3\cdot 2\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

---

Obliczamy obwód trójkąta $ABC$:

$L=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|=3\sqrt{10}+6\sqrt{5}+3\sqrt{10}=6\sqrt{5}+6\sqrt{10}=\boxed{6\left(\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)}$