Szukamy takich $x$ i $y,$ dla których $x+y=8$ i wyrażenie $x^2+y^2$ jest najmniejsze.

Z pierwszego wyrażenia wyznaczamy wartość $y,$ mamy:

$x+y=8|-x$

$y=8-x$

Podstawiając powyższą wartość wyrażenia do sumy kwadratów mamy:

$x^2+y^2=x^2+{\left(8-x\right)}^2=$

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy.

$=x^2+8^2-2\cdot 8\cdot x+x^2=$

$=x^2+64-16x+x^2=$

$=2x^2-16x+64$

Zauważmy, że parabola będąca wykresem funkcji $f\left(x\right)=2x^2-16x+64$ ma ramiona skierowane w górę, zatem funkcja $f$ przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla argumentu $x_w=-\frac{b}{2a}.$

Wyznaczmy tę wartość.

$x_w=-\frac{-16}{2\cdot 2}=-\frac{-16}{4}=4$

Wyznaczmy wartość $y.$ Podstawiając $x=4$ otrzymujemy

$y=8-x=8-4=4$

Zatem liczbę $8$ przedstawiamy w postaci dwóch składników:

$8=4+4$