Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na sześć przystających trójkątów równobocznych.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że jeśli dorysujemy czerwone odcinki (odpowiednie wysokości tych trójkątów), to podzielimy sześciokąt foremny na dwanaście przystających trójkątów prostokątnych.

Pole trójkąta $ABE$ składa się z czterech takich trójkątów prostokątnych, a więc:

$P_{ABE}=\frac{4}{12}\cdot P_{ABCDEF}=\frac{1}{3}\cdot P_{ABCDEF}=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}=\boxed{2\sqrt{3}}$

---

Odp. C.