Korzystamy z rysunku w książce.

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle BAC\right|=\left|\sphericalangle OAC\right|-\left|\sphericalangle BAO\right|$

---

Prosta $k$ jest styczna w punkcie $A$ do okręgu o środku $O$, więc:

$\left|\sphericalangle OAC\right|=90^{\circ }$

---

Spójrzmy na trójkąt $ABO$.

Zauważmy, że:

$\left|OA\right|=\left|OB\right|$ - promień okręgu

Zatem trójkąt $ABO$ jest równoramienny.

A to oznacza, że:

$\left|\sphericalangle BAO\right|=\left|\sphericalangle ABO\right|=\alpha$

Suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }$, zatem:

$\left|\sphericalangle BAO\right|+\left|\sphericalangle ABO\right|+\left|\sphericalangle AOB\right|=180^{\circ }$

$\alpha +\alpha +80^{\circ }=180^{\circ }$

$2\alpha +80^{\circ }=180^{\circ }$

$2\alpha =180^{\circ }-80^{\circ }$

$2\alpha =100^{\circ }|:2$

$\alpha =50^{\circ }$

---

Ostatecznie:

$\left|\sphericalangle BAC\right|=90^{\circ }-50^{\circ }=\boxed{40^{\circ }}$

---

Odp. C.