Długość łuku wyznaczonego na okręgu o promieniu $r$ przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ jest równa: $L=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi r$

---

a)

Wiemy, że:

$r=3\text{cm}$

$\alpha =30^{\circ }$

Obliczamy szukaną długość łuku:

$L=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi r=\frac{30^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{1}{12}\cdot 6\pi =\frac{6}{12}\pi =\boxed{\frac{1}{2}\pi \left[\text{cm}\right]}$

---

b)

Wiemy, że:

$r=3\text{cm}$

$\alpha =75^{\circ }$

Obliczamy szukaną długość łuku:

$L=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi r=\frac{75^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{5}{24}\cdot 6\pi =\frac{30}{24}\pi =\frac{5}{4}\pi =\boxed{1\frac{1}{4}\pi \left[\text{cm}\right]}$

Uwaga. Odpowiedź podana na końcu książki jest błędna. Poprawna odpowiedź powyżej.

---

c)

Wiemy, że:

$r=3\text{cm}$

$\alpha =130^{\circ }$

Obliczamy szukaną długość łuku:

$L=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi r=\frac{130^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{13}{36}\cdot 6\pi =\frac{13\cdot {\cancel{6}}^1}{{\cancel{36}}_6}\pi =\frac{13}{6}\pi =\boxed{2\frac{1}{6}\pi \left[\text{cm}\right]}$