Naszkicuj wykres wielomianu w...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = (x - 3) (x - 1) (x + 2)$

Znajdźmy jego pierwiastki.

$(x - 3) (x - 1) (x + 2) = 0$

$x = 3 lub x = 1 lub x = - 2$

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $- 2$ , $1$ i $3$ . Każdy z nich jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni, ponieważ:

$x \cdot x \cdot x = 1 x^{3}$

Zatem wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Pierwiastki wielomianu są jednokrotne, więc w każdym pierwiastku wielomian zmienia znak.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$ :

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = x (x + 3)^{2}$

Znajdźmy jego pierwiastki.

$x (x + 3)^{2} = 0$

$x = 0 lub x = - 3$

Liczba $- 3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $0$ - pierwiastkiem jednokrotnym, więc dla $x = 0$ wielomian zmienia znak, a dla $x = - 3$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$ ).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$ :

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = x^{2} (x - 1)$

Znajdźmy jego pierwiastki.

$x^{2} (x - 1) = 0$

$x = 0 lub x = 1$

Liczba $0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $1$ - pierwiastkiem jednokrotnym, więc dla $x = 1$ wielomian zmienia znak, a dla $x = 0$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$ ).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest dodatni, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od góry.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$ :

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = - x (x^{2} + 2 x + 1)$

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy możemy zapisać:

$w (x) = - x (x^{2} + 2 x + 1) = - x (x + 1)^{2}$

Zatem pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby $0$ i $- 1$ .

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $0$ - pierwiastkiem jednokrotnym, więc dla $x = 0$ wielomian zmienia znak, a dla $x = - 1$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$ ).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest ujemny, ponieważ:

$- x \cdot x^{2} = - 1 x^{3}$

Więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od dołu.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$ :

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = (1 - x) (x^{2} + 4 x - 5)$

Obliczmy pierwiastki trójmianu znajdującego się w drugim nawiasie.

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$

$Δ = 36 = 6$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

$x_{1} = \frac{- 4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Zatem:

$x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$

I stąd:

$w (x) = (1 - x) (x + 5) (x - 1) =$

$= - (x - 1) (x + 5) (x - 1) = - (x + 5) (x - 1)^{2}$

Zatem pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby $- 5$ i $1$ .

Liczba $1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $- 5$ - pierwiastkiem jednokrotnym, więc dla $x = - 5$ wielomian zmienia znak, a dla $x = 1$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$ ).

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest ujemny, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od dołu.

Poniżej znajduje się naszkicowany wykres wielomianu $w$ :

Dany jest wielomian $w$ określony wzorem:

$w (x) = (2 - x) (x^{2} + 6 x + 9)$

Wykorzystując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy możemy zapisać:

$w (x) = (2 - x) (x^{2} + 6 x + 9) =$

$= (2 - x) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = - (x - 2) (x + 3)^{2}$

Pierwiastkami wielomianu są liczby: $- 3$ i $2$ .

Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ jest ujemny, więc wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony od dołu. Liczba $- 3$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, a $2$ - pierwiastkiem jednokrotnym, więc dla $x = 2$ wielomian zmienia znak, a dla $x = - 3$ wielomian nie zmienia znaku (wykres "odbija" się od osi $x$ ).