a)

Rozwiążmy równanie:

$\left(2x+1\right)\left(x^2+x-6\right)=0$  

$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^2+x-6\right)=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+x-6$.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$

Zatem:

$x^2+x-6=\left(x+3\right)\left(x-2\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-3$ - pierwiastek jednokrotny

$-\frac{1}{2}$ - pierwiastek jednokrotny

$2$ - pierwiastek jednokrotny

---

b)

Rozwiążmy równanie:

${\left(x+1\right)}^2\left(2x-4\right)=0$

$2{\left(x+1\right)}^2\left(x-2\right)=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-1$ - pierwiastek dwukrotny

$2$ - pierwiastek jednokrotny

---

c)

Rozwiążmy równanie:

$\left(5-x\right)\left(x^2-7x+10\right)=0$  

$-\left(x-5\right)\left(x^2-7x+10\right)=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2-7x+10$.

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$

$x_1=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5$

Zatem:

$x^2-7x+10=\left(x-2\right)\left(x-5\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$-\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x-5\right)=0$  

$-{\left(x-5\right)}^2\left(x-2\right)=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$2$ - pierwiastek jednokrotny

$5$ - pierwiastek dwukrotny

---

d

Rozwiążmy równanie:

$\left(x^2+2x-3\right){\left(x-1\right)}^3=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+2x-3$.

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$

$x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$

Zatem:

$x^2+2x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$\left(x+3\right)\left(x-1\right){\left(x-1\right)}^3=0$  

$\left(x+3\right){\left(x-1\right)}^4=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-3$ - pierwiastek jednokrotny

$1$ - pierwiastek czterokrotny

---

e)

Rozwiążmy równanie:

$\left(x^2-9\right){\left(x+3\right)}^2=0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right){\left(x+3\right)}^2=0$  

$\left(x-3\right){\left(x+3\right)}^3=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-3$ - pierwiastek trzykrotny

$3$ - pierwiastek jednokrotny

---

f)

Rozwiążmy równanie:

$\left(x^2-x-6\right)\left(x^2+x-1\right)=0$  

$x^2-x-6=0\text{lub}{x}^2+x-1=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2-x-6$.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$ 

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+x-1$.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Równanie ma cztery pierwiastki jednokrotne:

$-2,\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2},3$  

---

g)

Rozwiążmy równanie:

${\left(x^2-4\right)}^2\left(x^4+3x^3-10x^2\right)=0$  

${\left[\left(x-2\right)\left(x+2\right)\right]}^2\cdot x^2\left(x^2+3x-10\right)=0$  

$x^2{\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2\left(x^2+3x-10\right)=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+3x-10$.

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$x_2=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2$

Zatem:

$x^2+3x-10=\left(x+5\right)\left(x-2\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$x^2{\left(x-2\right)}^2{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\left(x-2\right)=0$  

$x^2{\left(x-2\right)}^3{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-5$ - pierwiastek jednokrotny

$-2$ - pierwiastek dwukrotny

$0$ - pierwiastek dwukrotny

$2$ - pierwiastek trzykrotny

---

h)

Rozwiążmy równanie:

$\left(x^3+x^2-12x\right)\left(x^4-5x^3+6x^2\right)=0$  

$x\left(x^2+x-12\right)\cdot x^2\left(x^2-5x+6\right)=0$  

$x^3\left(x^2+x-12\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+x-12$.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4$

$x_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem:

$x^2+x-12=\left(x+4\right)\left(x-3\right)$  

Obliczmy jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2-5x+6$.

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$

$x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$

Zatem:

$x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$  

Równanie przyjmuje postać:

$x^3\left(x+4\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$  

$x^3{\left(x-3\right)}^2\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0$  

Z postaci iloczynowej odczytujemy pierwiastki równania i ich krotności:

$-4$ - pierwiastek jednokrotny

$0$ - pierwiastek trzykrotny

$2$ - pierwiastek jednokrotny 

$3$ - pierwiastek dwukrotny