Rozwiąż równanie...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Dany jest wielomian $w (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ ( $a_{0} \neq = 0$ ) o całkowitych współczynnikach. Jeśli ma on pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_{0}$ .

Rozwiążmy równanie:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5 = 0$

Niech $w (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $5$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 5, - 1, 1, 5$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 5 = 1 + 3 - 9 + 5 = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ . Skoro znaleźliśmy już jeden z pierwiastków, to nie musimy sprawdzać kolejnym liczb, ponieważ korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x - 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} + 4 x - 5} (x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) : (x - 1) \underline{- x^{3} + x^{2}} 4 x^{2} - 9 x + 5 \underline{- 4 x^{2} + 4 x} - 5 x + 5 \underline{5 x + 5} 0$

Zatem

$(x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) : (x - 1) = x^{2} + 4 x - 5$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5 = (x^{2} + 4 x - 5) (x - 1)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 16 + 20 = 36$

$Δ = 6$

$x_{1} = \frac{- 4 - 6}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

$x_{2} = \frac{- 4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $- 5$ i $1$ .

Równanie można zapisać w następujący sposób:

$(x + 5) (x - 1) (x - 1) = 0$

$(x + 5) (x - 1)^{2} = 0$

Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $- 5$ i $1$ .

Rozwiążmy równanie:

$x^{3} - 7 x - 6 = 0$

Niech $w (x) = x^{3} - 7 x - 6$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $- 6$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 6, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 6$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 1^{3} - 7 \cdot 1 - 6 = 1 - 7 - 6 = - 12 \neq = 0$

$w (- 1) = (- 1)^{3} - 7 \cdot (- 1) - 6 = - 1 + 7 - 6 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} - x - 6} (x^{3} - 7 x - 6) : (x + 1) \underline{- x^{3} - x^{2}} - x^{2} - 7 x - 6 \underline{x^{2} + x} - 6 x - 6 \underline{6 x + 6} 0$

Zatem

$(x^{3} - 7 x - 6) : (x + 1) = x^{2} - x - 6$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = x^{3} - 7 x - 6 = (x^{2} - x - 6) (x + 1)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25$

$Δ = 5$

$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Zatem rozwiązaniami równania są: $3$ , $- 2$ i $- 1$ .

Rozwiążmy równanie:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3 = 0$

Niech $w (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $3$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 3, - 1, 1, 3$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 2 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1 + 3 =$

$= 2 + 9 + 10 + 3 = 24 \neq = 0$

$w (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{3} + 9 \cdot (- 1)^{2} + 10 \cdot (- 1) + 3 =$

$= - 2 + 9 - 10 + 3 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{2 x^{2} + 7 x + 3} (2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3) : (x + 1) \underline{- 2 x^{3} - 2 x^{2}} 7 x^{2} + 10 x + 3 \underline{- 7 x^{2} - 7 x} 3 x + 3 \underline{- 3 x - 3} 0$

Zatem

$(2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3) : (x + 1) = 2 x^{2} + 7 x + 3$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x + 3 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (x + 1)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

$Δ = 5$

$x_{1} = \frac{- 7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 12}{4} = - 3$

$x_{2} = \frac{- 7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

Zatem rozwiązaniami równania są: $- 3$ , $- \frac{1}{2}$ i $- 1$ .

Rozwiążmy równanie:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Niech $w (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 4$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $4$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 4 =$

$= 2 - 3 - 3 + 4 = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x - 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{2 x^{2} - x - 4} (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 4) : (x - 1) \underline{- 2 x^{3} + 2 x^{2}} - x^{2} - 3 x + 4 \underline{x^{2} - x} - 4 x + 4 \underline{4 x - 4} 0$

Zatem

$(2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 4) : (x - 1) = 2 x^{2} - x - 4$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 4 = (2 x^{2} - x - 4) (x - 1)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 1 + 32 = 33$

$Δ = 33$

$x_{1} = \frac{1 - 33}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 33}{4}$

$x_{2} = \frac{1 + 33}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 33}{4}$

Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $\frac{1 - 33}{4}$ , $\frac{1 + 33}{4}$ i $1$ .

Rozwiążmy równanie:

$3 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Niech $w (x) = 3 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 4$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $4$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4$

Sprawdzamy, czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 3 \cdot 1^{3} + 11 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 4 =$

$= 3 + 11 - 3 + 4 = 15 \neq = 0$

$w (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{3} + 11 \cdot (- 1)^{2} - 3 \cdot (- 1) + 4 =$

$= - 3 + 11 + 3 + 4 = 15 \neq = 0$

$w (- 4) = 3 \cdot (- 4)^{3} + 11 \cdot (- 4)^{2} - 3 \cdot (- 4) + 4 =$

$= - 192 + 176 + 12 + 4 = 0$

Liczba $- 4$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 4$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{3 x^{2} - x + 1} (3 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 4) : (x + 4) \underline{- 3 x^{3} - 12 x^{2}} - x^{2} - 3 x + 4 \underline{x^{2} + 4 x} x + 4 \underline{- x + 4} 0$

Zatem

$(3 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 4) : (x + 4) = 3 x^{2} - x + 1$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = 3 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 4 = (3 x^{2} - x + 1) (x + 4)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = - 11 < 0$

Delta jest ujemna, więc trójmian nie ma pierwiastków.

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest liczba $- 4$ .

Zacznijmy od przekształcenia podanego równania:

$5 x^{2} - 2 x = 1 - 6 x^{3}$

$6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Niech $w (x) = 6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 1$ .

Wyrazem wolnym jest liczba $- 1$ . Dzielniki wyrazu wolnego to:

$- 1, 1$

Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

$w (1) = 6 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 =$

$= 6 + 5 - 2 - 1 = 8 \neq = 0$

$w (- 1) = 6 \cdot (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{2} - 2 \cdot (- 1) - 1 =$

$= - 6 + 5 + 2 - 1 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{6 x^{2} - x - 1} (6 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 1) : (x + 1) \underline{- 6 x^{3} - 6 x^{2}} - x^{2} - 2 x - 1 \underline{x^{2} + x} - x - 1 \underline{x + 1} 0$