Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu Dany jest wielomian $w\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$  ($a_0\ne 0$) o całkowitych współczynnikach. Jeśli ma on pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$.

---

a)

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w\left(x\right)=2x^3-3x^2+4x-3$

Wyrazem wolnym jest liczba $-3$. Dzielniki wyrazu wolnego to:

$-3,-1,1,3$

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami wielomianu $w$:

$w\left(-3\right)=2\cdot {\left(-3\right)}^3-3\cdot {\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)-3=$

$=2\cdot \left(-27\right)-3\cdot 9-12-3=$

$=-54-27-12-3=-96\ne 0$

Liczba $-3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-3=$

$=2\cdot \left(-1\right)-3\cdot 1-4-3=-2-3-4-3=-12\ne 0$

Liczba $-1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(1\right)=2\cdot 1^3-3\cdot 1^2+4\cdot 1-3=2-3+4-3=0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(3\right)=2\cdot 3^3-3\cdot 3^2+4\cdot 3-3=$

$=2\cdot 27-3\cdot 9+12-3=54-27+12-3=36\ne 0$

Liczba $3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

---

b)

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w\left(x\right)=3x^3+10x^2-9x-4$

Wyrazem wolnym jest liczba $-4$. Dzielniki wyrazu wolnego to:

$-4,-2,-1,1,2,4$

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami wielomianu $w$:

$w\left(-4\right)=3\cdot {\left(-4\right)}^3+10\cdot {\left(-4\right)}^2-9\cdot \left(-4\right)-4=$

$=3\cdot \left(-64\right)+10\cdot 16+36-4=$

$=-192+160+36-4=0$

Liczb $-4$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-2\right)=3\cdot {\left(-2\right)}^3+10\cdot {\left(-2\right)}^2-9\cdot \left(-2\right)-4=$

$=3\cdot \left(-8\right)+10\cdot 4+18-4=$

$=-24+40+18-4=30\ne 0$

Liczba $-2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^3+10\cdot {\left(-1\right)}^2-9\cdot \left(-1\right)-4=$

$=3\cdot \left(-1\right)+10+9-4=-3+10+9-4=12\ne 0$

Liczba $-1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(1\right)=3\cdot 1^3+10\cdot 1^2-9\cdot 1-4=3+10-9-4=0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(2\right)=3\cdot 2^3+10\cdot 2^2-9\cdot 2-4=$

$=3\cdot 8+10\cdot 4-18-4=$

$=24+40-18-4=42\ne 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$. 

$w\left(4\right)=3\cdot 4^3+10\cdot 4^2-9\cdot 4-4=$

$=3\cdot 64+10\cdot 16-36-4=$

$=192+160-36-4=312\ne 0$

Liczba $4$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

---

c)

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6$

Wyrazem wolnym jest liczba $6$. Dzielniki wyrazu wolnego to:

$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami wielomianu $w$:

$w\left(-6\right)={\left(-6\right)}^3-2\cdot {\left(-6\right)}^2-5\cdot \left(-6\right)+6=$

$=-216-2\cdot 36+30+6=$

$=-216-72+30+6=-252\ne 0$

Liczba $-6$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3-2\cdot {\left(-3\right)}^2-5\cdot \left(-3\right)+6=$

$=-27-2\cdot 9+15+6=$

$=-27-18+15+6=-24\ne 0$  

Liczba $-3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2-5\cdot \left(-2\right)+6=$

$=-8-2\cdot 4+10+6=-8-8+10+6=0$

Liczba $-2$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2-5\cdot \left(-1\right)+6=$

$=-1-2+5+6=8\ne 0$

Liczba $-1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(1\right)=1^3-2\cdot 1^2-5\cdot 1+6=1-2-5+6=0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(2\right)=2^3-2\cdot 2^2-5\cdot 2+6=8-2\cdot 4-10+6=$

$=8-8-10+6=-4\ne 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(3\right)=3^3-2\cdot 3^2-5\cdot 3+6=27-2\cdot 9-15+6=$

$=27-18-15+6=0$  

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(6\right)=6^3-2\cdot 6^2-5\cdot 6+6=216-2\cdot 36-30+6=$

$=216-72-30+6=120\ne 0$

Liczba $6$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

---

d)

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w\left(x\right)=x^4-7x^2+10$  

Wyrazem wolnym jest liczba $10$. Dzielniki wyrazu wolnego to:

$-10,-5,-2,-1,1,2,5,10$

Sprawdzamy, które z wypisanych dzielników są pierwiastkami wielomianu $w$:

$w\left(-10\right)={\left(-10\right)}^4-7\cdot {\left(-10\right)}^2+10=$

$=10000-7\cdot 100+10=10000-700+10=9310\ne 0$

Liczba $-10$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-5\right)={\left(-5\right)}^4-7\cdot {\left(-5\right)}^2+10=$

$=625-7\cdot 25+10=625-175+10=460\ne 0$

Liczba $-5$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-7\cdot {\left(-2\right)}^2+10=$

$=16-7\cdot 4+10=16-28+10=-2\ne 0$

Liczba $-2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-7\cdot {\left(-1\right)}^2+10=1-7+10=4\ne 0$

Liczba $-1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(1\right)=1^4-7\cdot 1^2+10=1-7+10=4\ne 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(2\right)=2^4-7\cdot 2^2+10=16-7\cdot 4+10=$

$=16-28+10=-2\ne 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(5\right)=5^4-7\cdot 5^2+10=625-7\cdot 25+10=$

$=625-175+10=460\ne 0$  

Liczba $5$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

$w\left(10\right)=10^4-7\cdot 10^2+10=10000-7\cdot 100+10=$

$=10000-700+10=9310\ne 0$

Liczba $10$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $w$.

Możemy więc wywnioskować, że wielomian $w$ nie ma pierwiastków całkowitych.