Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w...- Zadanie 4: NOWA MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie Bézouta

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ wtedy i tylko wtedy, gdy ten wielomian jest podzielny przez dwumian $x - a$ .

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8$

Skoro liczba $- 4$ jest pierwiastkiem tego wielomianu, to korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 4$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} + x - 2} (x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8) : (x + 4) \underline{- x^{3} - 4 x^{2}} x^{2} + 2 x - 8 \underline{- x^{2} - 4 x} - 2 x - 8 \underline{2 x + 8} 0$

Zatem

$(x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8) : (x + 4) = x^{2} + x - 2$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 8 = (x^{2} + x - 2) (x + 4)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$Δ = 3$

$x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $1$ , $- 2$ i $- 4$ .

Rozkład wielomianu $w$ na czynniki wygląda w następujący sposób

$w (x) = (x + 2) (x - 1) (x + 4)$

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

Skoro liczba $1$ jest pierwiastkiem tego wielomianu, to korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x - 1$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} + 3 x + 1} (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1) : (x - 1) \underline{- x^{3} + x^{2}} 3 x^{2} - 2 x - 1 \underline{- 3 x^{2} + 3 x} x - 1 \underline{- x + 1} 0$

Zatem

$(x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1) : (x - 1) = x^{2} + 3 x + 1$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1 = (x^{2} + 3 x + 1) (x - 1)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$Δ = 5$

$x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2}$

$x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2}$

Pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $\frac{- 3 - 5}{2}$ , $\frac{- 3 + 5}{2}$ i $1$ .

Rozkład wielomianu $w$ na czynniki wygląda w następujący sposób

$w (x) = (x - \frac{- 3 - 5}{2}) (x - \frac{- 3 + 5}{2}) (x - 1) =$

$= (x + \frac{3 + 5}{2}) (x + \frac{3 - 5}{2}) (x - 1)$

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w (x) = x^{3} - x^{2} - 10 x - 8$

Skoro liczba $- 2$ jest pierwiastkiem tego wielomianu, to korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x + 2$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} - 3 x - 4} (x^{3} - x^{2} - 10 x - 8) : (x + 2) \underline{- x^{3} - 2 x^{2}} - 3 x^{2} - 10 x - 8 \underline{3 x^{2} + 6 x} - 4 x - 8 \underline{4 x + 8} 0$

Zatem

$(x^{3} - x^{2} - 10 x - 8) : (x + 2) = x^{2} - 3 x - 4$

Możemy więc zapisać:

$w (x) = x^{3} - x^{2} - 10 x - 8 = (x^{2} - 3 x - 4) (x + 2)$

Obliczmy jeszcze pierwiastki powstałego trójmianu kwadratowego.

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25$

$Δ = 5$

$x_{1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Pierwiastkami wielomianu $w$ są liczby: $- 1$ , $4$ i $- 2$ .

Rozkład wielomianu $w$ na czynniki wygląda w następujący sposób

$w (x) = (x + 1) (x - 4) (x + 2)$

Wielomian $w$ dany jest wzorem:

$w (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$

Skoro liczba $3$ jest pierwiastkiem tego wielomianu, to korzystając z twierdzenie Bézouta możemy powiedzieć, że wielomian $w$ dzieli się przez dwumian $x - 3$ .

Wykonajmy to dzielenie sposobem pisemnym:

$\underline{x^{2} - x - 6} (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18) : (x - 3) \underline{- x^{3} + 3 x^{2}} - x^{2} - 3 x + 18 \underline{x^{2} - 3 x} - 6 x + 18 \underline{6 x - 18} 0$