a)

Dane jest równanie

$15x^2-12x-20=0$

Sprawdzamy, ile pierwiastków ma podane równanie kwadratowe. Pamiętamy, że liczb pierwiastków równania kwadratowego zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 15\cdot \left(-20\right)=$

$=144+1200=1344$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, co należało uzasadnić.

Aby obliczyć wartość wyrażenia

$x_1^2+x_2^2-8x_1{x}_2$

korzystamy ze wzorów Viete'a.

$x_1^2+x_2^2-8x_1{x}_2=$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-8x_1{x}_2=$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-10x_1{x}_2=$

$={\left(\frac{-\left(-12\right)}{15}\right)}^2-10\cdot \frac{-20}{15}=$

$={\left(\frac{12}{15}\right)}^2+\frac{200}{15}=$

$=\frac{144}{15\cdot 15}+\frac{200}{15}=$

$=\frac{144}{15\cdot 15}+\frac{200\cdot 15}{15\cdot 15}=$

$=\frac{144}{225}+\frac{3000}{225}=$

$=\frac{3144}{225}=\underline{\underline{\frac{1048}{75}}}$

---

b)

Dane jest równanie

$\left(\sqrt{2}+1\right)x^2+\left(\sqrt{2}-1\right)x-1=0$

Sprawdzamy, ile pierwiastków ma podane równanie kwadratowe. Pamiętamy, że liczb pierwiastków równania kwadratowego zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-4\cdot \left(\sqrt{2}+1\right)\cdot \left(-1\right)=$

$=2-2\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}+4=$

$=2\sqrt{2}+7$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki, co należało uzasadnić.

Aby obliczyć wartość wyrażenia

$x_1^2+x_2^2-8x_1{x}_2$

korzystamy ze wzorów Viete'a.

$x_1^2+x_2^2-8x_1{x}_2=$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-8x_1{x}_2=$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-10x_1{x}_2=$

$={\left(\frac{-\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}+1}\right)}^2-10\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}+1}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}+\frac{10}{\sqrt{2}+1}=$

$=\frac{\left(2-2\sqrt{2}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}+\frac{10\left(\sqrt{2}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}=$

$=\frac{3-2\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}=$

$=\frac{13+8\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}+1}=$

$=\frac{13+8\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\cdot \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}=$

$=\frac{\left(13+8\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-8}=$

$=39-26\sqrt{2}+24\sqrt{2}-32=$

$=\underline{\underline{7-2\sqrt{2}}}$