a)

Rozwiązujemy równanie

${\left(x^2-2x\right)}^2+5\left(x^2-2x\right)+4=0$

Zastosujemy podstawienie

$t=x^2-2x$

Wobec tego dostajemy równanie kwadratowe ze zmienną $t.$

$t^2+5t+4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 4=$

$=25-14=9$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-5-3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-8}{2}=-4$

$t_2=\frac{-5+3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-2}{2}=-1$

Wracamy do podstawienia $t=x^2-2x$ i wyznaczamy $x.$

$\begin{array}{lll}{x}^2-2x=-4|+1& \text{lub}& x^2-2x=-1|+1\\ x^2-2x+1=-3& & x^2-2x+1=0\\ \underset{\text{sprzecznosˊcˊ}}{{\left(x-1\right)}^2=-3}& & {\left(x-1\right)}^2=0\\ & & x-1=0\\ & & x=1\end{array}$

Wnioskujemy, że 

$x=1$

---

b)

Rozwiązujemy równanie

${\left(x^2+4x\right)}^2+7\left(x^2+4x\right)+12=0$

Zastosujemy podstawienie

$t=x^2+4x$

Wobec tego dostajemy równanie kwadratowe ze zmienną $t.$

$t^2+7t+12=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot 12=$

$=49-48=1$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-7-1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-8}{2}=-4$

$t_2=\frac{-7+1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-6}{2}=-3$

Wracamy do podstawienia $t=x^2+4x$ i wyznaczamy $x.$

$\begin{array}{lll}{x}^2+4x=-4|+4& \text{lub}& x^2+4x=-3|+4\\ x^2+4x+4=0& & x^2+4x+4=1\\ {\left(x+2\right)}^2=0& & {\left(x+2\right)}^2=1|\sqrt{}\\ x+2=0|-2& & |x+2|=1\\ x=-2& & \begin{array}{lll}x+2=1& \text{lub}& x+2=-1\end{array}\\ & & \begin{array}{lll}x=-1& & x=-3\end{array}\end{array}$

Wnioskujemy, że 

$x\in \left\{-3,-2,-1\right\}$

---

c)

Rozwiązujemy równanie

$\left(x^2-5x\right)\left(x^2-5x+2\right)=24$

Zastosujemy podstawienie

$t=x^2-5x$

Wobec tego dostajemy równanie kwadratowe ze zmienną $t.$

$t\left(t+2\right)=24$

$t^2+2t-24=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-24\right)=$

$=4+96=100$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{100}=10$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-2-10}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-12}{2}=-6$

$t_2=\frac{-2+10}{2\cdot 1}=$

$=\frac{8}{2}=4$

Wracamy do podstawienia $t=x^2-5x$ i wyznaczamy $x.$

$\begin{array}{lll}{x}^2-5x=-6|+6& \text{lub}& x^2-5x=4|-4\\ x^2-5x+6=0& & x^2-5x-4=0\end{array}$

Rozwiązujemy równanie

$x^2-5x+6=0$

${\Delta }_1={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=$

$=25-24=1$

Wobec tego

$\sqrt{{\Delta }_1}=\sqrt{1}=1$

Skoro ${\Delta }_1>0,$ to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{-\left(-5\right)-1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-\left(-5\right)+1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$

Rozwiązujemy równanie

$x^2-5x-4=0$

${\Delta }_2={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=$

$=25+16=41$

Wobec tego

$\sqrt{{\Delta }_2}=\sqrt{41}$

Skoro ${\Delta }_2>0,$ to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_3=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{41}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$

$x_4=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{41}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$

Wnioskujemy, że 

$x\in \left\{\frac{5-\sqrt{41}}{2},2,3,\frac{5+\sqrt{41}}{2}\right\}$

---

d)

Rozwiązujemy równanie

$\left(x^2+2x\right)\left(x^2+2x-1\right)=2$

Zastosujemy podstawienie

$t=x^2+2x$

Wobec tego dostajemy równanie kwadratowe ze zmienną $t.$

$t\left(t-1\right)=2$

$t^2-t-2=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=$

$=1+8=9$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

Skoro $\Delta >0,$ to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$t_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Wracamy do podstawienia $t=x^2+2x$ i wyznaczamy $x.$

$\begin{array}{lll}{x}^2+2x=-1|+1& \text{lub}& x^2+2x=2|+1\\ x^2+2x+1=0& & x^2+2x+1=3\\ {\left(x+1\right)}^2=0& & {\left(x+1\right)}^2=3|\sqrt{}\\ x+1=0|-1& & |x+1|=\sqrt{3}\\ x=-1& & \begin{array}{lll}x+1=\sqrt{3}& \text{lub}& x+1=-\sqrt{3}\end{array}\\ & & \begin{array}{lll}x=\sqrt{3}-1& & x=-1-\sqrt{3}\end{array}\end{array}$

Wnioskujemy, że 

$x\in \left\{-1-\sqrt{3},-1,-1+\sqrt{3}\right\}$