Dane są funkcje

$f\left(x\right)=-x^2+4x-1$

$g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x-3$

Aby wyznaczyć wartości najmniejszą oraz największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, musimy obliczyć

• wartości funkcji dla argumentów znajdujących się na końcach przedziału,
• pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli i sprawdzić, czy należy do podanego przedziału,
• jeśli pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do zadanego przedziału, to obliczamy wartość funkcji dla wyznaczonego argumentu.

---

---

a)

Wyznaczamy wartość największą i najmniejszą funkcji $f$ w przedziale $\left[0,4\right].$

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów znajdujących się na końcach zadanego przedziału domkniętego.

$f\left(0\right)=-0^2+4\cdot 0-1=$

$=0-1=-1$

$f\left(4\right)=-4^2+4\cdot 4-1=$

$=-16+16-1=-1$

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{-4}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-4}{-2}=2$

Zauważmy, że

$x_w=2\in \left[0,4\right]$

wobec tego obliczamy wartość funkcji $f$ dla argumentu $x_w=2.$

$f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-1=$

$=-4+8-1=$

$=4-1=3$

Możemy zapisać, że

$f\left(4\right)=f\left(0\right)<f\left(2\right)$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $-1,$ natomiast wartość największą równą $3.$

---

Wyznaczamy wartość największą i najmniejszą funkcji $g$ w przedziale $\left[0,4\right].$

Obliczamy wartości funkcji $g$ dla argumentów znajdujących się na końcach zadanego przedziału domkniętego.

$g\left(0\right)=\frac{1}{2}\cdot 0^2+0-3=$

$=0+0-3=-3$

$g\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4^2+4-3=$

$=\frac{1}{2}\cdot 16+1=$

$=8+1=9$

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=$

$=\frac{-1}{1}=-1$

Zauważmy, że

$x_w=-1\notin \left[0,4\right]$

wobec tego nie bierzemy pod uwagę wartości funkcji $g$ przyjmowanej dla argumentu $x_w=-1.$

Możemy zapisać, że

$g\left(0\right)<g\left(4\right)$

Wnioskujemy, że funkcja $g$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $-3,$ natomiast wartość największą równą $9.$

---

---

b)

Wyznaczamy wartość największą i najmniejszą funkcji $f$ w przedziale $\left[-4,6\right].$

Obliczamy wartości funkcji $f$ dla argumentów znajdujących się na końcach zadanego przedziału domkniętego.

$f\left(-4\right)=-{\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)-1=$

$=-16-16-1=$

$=-32-1=-33$

$f\left(6\right)=-6^2+4\cdot 6-1=$

$=-36+24-1=$

$=-12-1=-13$

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{-4}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-4}{-2}=2$

Zauważmy, że

$x_w=2\in \left[-4,6\right]$

wobec tego obliczamy wartość funkcji $f$ dla argumentu $x_w=2.$

$f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2-1=$

$=-4+8-1=$

$=4-1=3$

Możemy zapisać, że

$f\left(-4\right)<f\left(6\right)<f\left(2\right)$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $-33,$ natomiast wartość największą równą $3.$

---

Wyznaczamy wartość największą i najmniejszą funkcji $g$ w przedziale $\left[-4,6\right].$

Obliczamy wartości funkcji $g$ dla argumentów znajdujących się na końcach zadanego przedziału domkniętego.

$g\left(-4\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^2-4-3=$

$=\frac{1}{2}\cdot 16-7=$

$=8-7=1$

$g\left(6\right)=\frac{1}{2}\cdot 6^2+6-3=$

$=\frac{1}{2}\cdot 36+3=$

$=18+3=21$

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$x_w=\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=$

$=\frac{-1}{1}=-1$

Zauważmy, że

$x_w=-1\in \left[-4,6\right]$

wobec tego obliczamy wartość funkcji $g$ dla argumentu $x_w=-1.$

$g\left(-1\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-1-3=$

$=\frac{1}{2}\cdot 1-4=$

$=\frac{1}{2}-4=$

$=-3\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$

Możemy zapisać, że

$g\left(-1\right)<g\left(-4\right)<g\left(6\right)$

Wnioskujemy, że funkcja $g$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $-\frac{7}{2},$ natomiast wartość największą równą $21.$