Korzystamy ze wzoru:

$m=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$  

gdzie:

$m$ - masa próbki po upływie $t$ lat

$m_0$ - początkowa masa próbki

$T$ - okres połowicznego rozpadu

---

a)

Wiemy, że:

$m_0=100\text{mg},m=12,5\text{mg}$  

Dodatkowo wykorzystamy informację, że okres połowicznego rozpadu radu-226 to $T=1600$.

$12,5=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$0,125={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

$\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

$3=\frac{t}{1600}$

$t=4800\left[\text{lat}\right]$     

Odp.: Po upływie $4800$ lat.

---

b)

Wiemy, że:

$m_0=10,24\text{mg},m=0,01\text{mg}$  

Dodatkowo wykorzystamy informację, że okres połowicznego rozpadu radu-226 to $T=1600$.

$0,01=10,24\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

$\frac{1}{100}:\frac{1024}{100}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$\frac{1}{100}\cdot \frac{100}{1024}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$\frac{1}{1024}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$10=\frac{t}{1600}$

$t=16000\left[\text{lat}\right]$     

Odp.: Po upływie $16000$ lat.