a)

Niech $p$ i $q$ będą liczbami, których suma jest równa $38.$

Wobec powyższego możemy zapisać, że

$p+q=38|-q$

$p=38-q$

Zatem iloczyn tych dwóch liczb możemy zapisać jako funkcję zmiennej $q$ za pomocą wzoru

$f\left(q\right)=\left(38-q\right)q=$

$=-q^2+38q$

Aby obliczyć największą wartość iloczynu liczb $p$ i $q,$ to musimy obliczyć największą wartość funkcji $f.$

Zauważmy, że funkcja $f$ jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, ponieważ współczynnik przy $q^2$ jest ujemny. Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$q_w=\frac{-38}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-38}{-2}=19$

Wyznaczamy drugą współrzędna wierzchołka paraboli, a zatem wartość największą funkcji $f.$

$y_w=f\left(q_w\right)=$

$=-19^2+38\cdot 19=$

$=-361+722=$

$=361$

Wartość największa funkcji $f$ jest wartością największą iloczynu liczb $p$ i $q.$

Wnioskujemy, że największą wartością iloczynu liczb $p$ i $q$ jest liczba $361.$

---

b)

Niech $p$ i $q$ będą liczbami, których suma jest równa $\frac{1}{2}.$

Wobec powyższego możemy zapisać, że

$p+q=\frac{1}{2}|-q$

$p=\frac{1}{2}-q$

Zatem iloczyn tych dwóch liczb możemy zapisać jako funkcję zmiennej $q$ za pomocą wzoru

$f\left(q\right)=\left(\frac{1}{2}-q\right)q=$

$=-q^2+\frac{1}{2}q$

Aby obliczyć największą wartość iloczynu liczb $p$ i $q,$ to musimy obliczyć największą wartość funkcji $f.$

Zauważmy, że funkcja $f$ jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, ponieważ współczynnik przy $q^2$ jest ujemny. Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$q_w=\frac{-\frac{1}{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-\frac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}$

Wyznaczamy drugą współrzędna wierzchołka paraboli, a zatem wartość największą funkcji $f.$

$y_w=f\left(q_w\right)=$

$=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=$

$=-\frac{1}{16}+\frac{1}{8}=$

$=-\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=$

$=\frac{1}{16}$

Wartość największa funkcji $f$ jest wartością największą iloczynu liczb $p$ i $q.$

Wnioskujemy, że największą wartością iloczynu liczb $p$ i $q$ jest liczba $\frac{1}{16}.$

---

c)

Niech $p$ i $q$ będą liczbami, których suma jest równa $\sqrt{2}.$

Wobec powyższego możemy zapisać, że

$p+q=\sqrt{2}|-q$

$p=\sqrt{2}-q$

Zatem iloczyn tych dwóch liczb możemy zapisać jako funkcję zmiennej $q$ za pomocą wzoru

$f\left(q\right)=\left(\sqrt{2}-q\right)q=$

$=-q^2+\sqrt{2}q$

Aby obliczyć największą wartość iloczynu liczb $p$ i $q,$ to musimy obliczyć największą wartość funkcji $f.$

Zauważmy, że funkcja $f$ jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, ponieważ współczynnik przy $q^2$ jest ujemny. Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

$q_w=\frac{-\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-\sqrt{2}}{-2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Wyznaczamy drugą współrzędna wierzchołka paraboli, a zatem wartość największą funkcji $f.$

$y_w=f\left(q_w\right)=$

$=-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=$

$=-\frac{2}{4}+\frac{2}{2}=$

$=-\frac{1}{2}+1=$

$=\frac{1}{2}$

Wartość największa funkcji $f$ jest wartością największą iloczynu liczb $p$ i $q.$

Wnioskujemy, że największą wartością iloczynu liczb $p$ i $q$ jest liczba $\frac{1}{2}.$