Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$\frac{4}{x}=\mathrm{tg}\alpha$   oraz   $\frac{4}{y}=\mathrm{tg}\beta$

W treści zadania mamy podane:

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$   oraz   $\sin \beta =\frac{4\sqrt{21}}{21}$

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej ,aby obliczyć cosinusy tych kątów, a następnie tangensy.

Zaczynamy od kąta $\alpha$.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{4}{9}+{\cos }^2\alpha =1$

${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}|\sqrt{},\cos \alpha >0$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$

zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Podobnie podziałajmy teraz z kątem $\beta$.

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$

${\left(\frac{4\sqrt{21}}{21}\right)}^2+{\cos }^2\beta =1$

$\frac{16\cdot 21}{21\cdot 21}+{\cos }^2\beta =1$

$\frac{16}{21}+{\cos }^2\beta =1$

${\cos }^2\beta =\frac{5}{21}|\sqrt{},\cos \beta >0$

$\cos \beta =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{105}}{21}$

zatem:

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{4\sqrt{21}}{21}\cdot \frac{21}{\sqrt{105}}=\frac{4\sqrt{21}}{\sqrt{105}}=$

$=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Obliczmy teraz długości odcinków $x$ i $y$. Przypomnijmy:

$\frac{4}{x}=\mathrm{tg}\alpha$   oraz   $\frac{4}{y}=\mathrm{tg}\beta$

czyli:

$\frac{4}{x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$     oraz     $\frac{4}{y}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Mnożymy "na krzyż" i mamy:

$2\sqrt{5}x=20$     

$x=\frac{20}{2\sqrt{5}}$     

$x=\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$

oraz

$4\sqrt{5}y=20$

$y=\frac{20}{4\sqrt{5}}$

$y=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$

Obliczmy długość dłuższej podstawy trapezu:

$\left|AB\right|=2\sqrt{5}+5\sqrt{5}+\sqrt{5}=8\sqrt{5}$

Obliczmy pole tego trapezu:

$P=\frac{5\sqrt{5}+8\sqrt{5}}{2}\cdot 4=13\sqrt{5}\cdot 2=26\sqrt{5}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Odp.: Pole trapezu jest równe $26\sqrt{5}{\text{cm}}^2$.