Rysunek pomocniczy:

Uzasadnimy drugą tożsamość, czyli:

$\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$

Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa $180^{\circ }$, zatem:

$180^{\circ }=\alpha +\beta +90^{\circ }$  

$\beta =90^{\circ }-\alpha$  

Zauważmy, że:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\cos \beta =\frac{a}{c}$  

Zatem:

$\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\cos \beta =\sin \alpha$  

---

Przejdźmy do uzasadnienia trzeciej tożsamości:

$\mathrm{tg}\left(90^{\circ }-\alpha \right)=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$

Wiemy, że:  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$  

$\mathrm{tg}\underset{\beta }{\underbrace{\left({90}^{\circ }-\alpha \right)}}=\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$   

Zauważmy, że:

$\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{a}{b}}=1:\frac{a}{b}=1\cdot \frac{b}{a}=\frac{b}{a}=\mathrm{tg}\left(90^{\circ }-\alpha \right)$

Zatem:

$\mathrm{tg}\left(90^{\circ }-\alpha \right)=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$