Dany jest trójkąt prostokątny. Skoro jeden z kątów ostrych ma $60^{\circ }$, to drugi ma $30^{\circ }$. Miary kątów podanego trójkąta to: $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ i $90^{\circ }$. Zatem jeśli bok leżący na przeciw kąta o mierze $30^{\circ }$ oznaczymy jako $a$, to wtedy bok leżący naprzeciwko kąta o mierze $60^{\circ }$ ma długość $a\sqrt{3}$, natomiast przeciwprostokątna ma długość $2a$. Skoro dłuższa przyprostokątna ma długość $18$, to:

$a\sqrt{3}=18|:\sqrt{3}$

$a=\frac{18}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$  

Możemy też od razu wyznaczyć długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

$2a=12\sqrt{3}$

Znajdziemy teraz długości środkowych, które zostały poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych.

Poniżej znajduje się pomocniczy rysunek:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ADC$ mamy:

${\left(3\sqrt{3}\right)}^2+18^2={\left|CD\right|}^2$  

$9\cdot 3+324={\left|CD\right|}^2$  

$27+324={\left|CD\right|}^2$  

${\left|CD\right|}^2=351$

$\left|CD\right|=\sqrt{351}=\sqrt{9\cdot 39}=3\sqrt{39}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABE$ mamy:

$9^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2={\left|BE\right|}^2$  

$81+36\cdot 3={\left|BE\right|}^2$  

$81+108={\left|BE\right|}^2$  

${\left|BE\right|}^2=189$

$\left|BE\right|=\sqrt{189}=\sqrt{9\cdot 21}=3\sqrt{21}$

Odp.: Długości środkowych to $3\sqrt{39}$ i $3\sqrt{21}$.