a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x-5}{x+2},x\ne -2$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej. 

$f\left(x\right)=\frac{x+2-7}{x+2}=$

$=\frac{x+2}{x+2}-\frac{7}{x+2}=$

$=1-\frac{7}{x+2}=$

$=-\frac{7}{x+2}+1$

Wykres funkcji $f$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=-\frac{7}{x}$ o wektor $\left[\begin{array}{c}-2,1\end{array}\right].$ Wobec tego funkcja $f$ jest funkcją rosnącą w przedziale $\left(-\infty ,-2\right)$ oraz w przedziale $\left(-2,\infty \right).$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ jest funkcją monotoniczną w przedziale $\left(-2,\infty \right),$ co należało wykazać.

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-4},x\ne 4$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej. 

$f\left(x\right)=\frac{x-4+7}{x-4}=$

$=\frac{x-4}{x-4}+\frac{7}{x-4}=$

$=1+\frac{7}{x-4}=$

$=\frac{7}{x-4}+1$

Wykres funkcji $f$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=\frac{7}{x}$ o wektor $\left[\begin{array}{c}4,1\end{array}\right].$ Wobec tego funkcja $f$ jest funkcją malejącą w przedziale $\left(-\infty ,4\right)$ oraz w przedziale $\left(4,\infty \right).$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ jest funkcją monotoniczną w przedziale $\left(-\infty ,4\right),$ co należało wykazać.

---

c)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{2x+5}{x+1},x\ne -1$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej. 

$f\left(x\right)=\frac{2\left(x+1\right)+3}{x+1}=$

$=\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{3}{x+1}=$

$=2+\frac{3}{x+1}=$

$=\frac{3}{x+1}+2$

Wykres funkcji $f$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=\frac{3}{x}$ o wektor $\left[\begin{array}{c}-1,2\end{array}\right].$ Wobec tego funkcja $f$ jest funkcją malejącą w przedziale $\left(-\infty ,-1\right)$ oraz w przedziale $\left(-1,\infty \right).$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ jest funkcją monotoniczną w przedziale $\left(-\infty ,-1\right),$ co należało wykazać.

---

d)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{-3x-7}{x-5},x\ne 5$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej. 

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x-5\right)-22}{x-5}=$

$=\frac{-3\left(x-5\right)}{x-5}-\frac{22}{x-5}=$

$=-3-\frac{22}{x-5}=$

$=-\frac{22}{x-5}-3$

Wykres funkcji $f$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $y=-\frac{22}{x}$ o wektor $\left[\begin{array}{c}5,-3\end{array}\right].$ Wobec tego funkcja $f$ jest funkcją rosnącą w przedziale $\left(-\infty ,5\right)$ oraz w przedziale $\left(5,\infty \right).$

Wnioskujemy, że funkcja $f$ jest funkcją monotoniczną w przedziale $\left(-\infty ,5\right),$ co należało wykazać.