a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-3}$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{2\left(x-3\right)+5}{x-3}=$

$=\frac{2\left(x-3\right)}{x-3}+\frac{5}{x-3}=$

$=2+\frac{5}{x-3}=$

$=\frac{5}{x-3}+2,x\ne 3$

Wiemy, że liczba $2$ jest liczba całkowitą, zatem aby wartości funkcji $f$ były liczbami całkowitymi, to $x-3$ musi być dzielnikiem całkowitym liczby $5.$ Wobec tego

$x-3\in \left\{-5,-1,1,5\right\}$

zatem dostajemy, że

$x\in \left\{-2,2,4,8\right\}$

Czyli istnieją cztery punkty o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $f.$

Wyznaczamy drugie współrzędne tych punktów.

$f\left(-2\right)=\frac{5}{-2-3}+2=$

$=\frac{5}{-5}+2=-1+2=1$

$f\left(2\right)=\frac{5}{2-3}+2=$

$=\frac{5}{-1}+2=-5+2=-3$

$f\left(4\right)=\frac{5}{4-3}+2=$

$=\frac{5}{1}+2=5+2=7$

$f\left(8\right)=\frac{5}{8-3}+2=$

$=\frac{5}{5}+2=1+2=3$

Wnioskujemy, że

$\left(-2,1\right),\left(2,-3\right),\left(4,7\right),\left(8,3\right)$

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{-3x-10}{x+2}$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{-3\left(x+2\right)-4}{x+2}=$

$=\frac{-3\left(x+2\right)}{x+2}-\frac{4}{x+2}=$

$=-3-\frac{4}{x+2}=$

$=\frac{-4}{x+2}-3,x\ne -2$

Wiemy, że liczba $3$ jest liczba całkowitą, zatem aby wartości funkcji $f$ były liczbami całkowitymi, to $x+2$ musi być dzielnikiem całkowitym liczby $-4.$ Wobec tego

$x+2\in \left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$

zatem dostajemy, że

$x\in \left\{-6,-4,-3,-1,0,2\right\}$

Czyli istnieje sześć punktów o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $f.$

Wyznaczamy drugie współrzędne tych punktów.

$f\left(-6\right)=\frac{-4}{-6+2}-3=$

$=\frac{-4}{-4}-3=1-3=-2$

$f\left(-4\right)=\frac{-4}{-4+2}-3=$

$=\frac{-4}{-2}-3=2-3=-1$

$f\left(-3\right)=\frac{-4}{-3+2}-3=$

$=\frac{-4}{-1}-3=4-3=1$

$f\left(-1\right)=\frac{-4}{-1+2}-3=$

$=\frac{-4}{1}-3=-4-3=-7$

$f\left(0\right)=\frac{-4}{0+2}-3=$

$=\frac{-4}{2}-3=-2-3=-5$

$f\left(2\right)=\frac{-4}{2+2}-3=$

$=\frac{-4}{4}-3=-1-3=-4$

Wnioskujemy, że

$\left(-6,-2\right),\left(-4,-1\right),\left(-3,1\right),\left(-1,-7\right),\left(0,-5\right),\left(2,-4\right)$

---

c)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x-4}$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej.

$f\left(x\right)=\frac{2\left(x-4\right)+12}{x-4}=$

$=\frac{2\left(x-4\right)}{x-4}+\frac{12}{x-4}=$

$=2+\frac{12}{x-4}=$

$=\frac{12}{x-4}+2,x\ne 4$

Wiemy, że liczba $2$ jest liczba całkowitą, zatem aby wartości funkcji $f$ były liczbami całkowitymi, to $x-4$ musi być dzielnikiem całkowitym liczby $12.$ Wobec tego

$x-4\in \left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$

zatem dostajemy, że

$x\in \left\{-8,-2,0,1,2,3,5,6,7,8,10,16\right\}$

Czyli istnieje dwanaście punktów o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $f.$

Wyznaczamy drugie współrzędne tych punktów.

$f\left(-8\right)=\frac{12}{-8-4}+2=$

$=\frac{12}{-12}+2=-1+2=1$

$f\left(-2\right)=\frac{12}{-2-4}+2=$

$=\frac{12}{-6}+2=-2+2=0$

$f\left(0\right)=\frac{12}{0-4}+2=$

$=\frac{12}{-4}+2=-3+2=-1$

$f\left(1\right)=\frac{12}{1-4}+2=$

$=\frac{12}{-3}+2=-4+2=-2$

$f\left(2\right)=\frac{12}{2-4}+2=$

$=\frac{12}{-2}+2=-6+2=-4$

$f\left(3\right)=\frac{12}{3-4}+2=$

$=\frac{12}{-1}+2=-12+2=-10$

$f\left(5\right)=\frac{12}{5-4}+2=$

$=\frac{12}{1}+2=12+2=14$

$f\left(6\right)=\frac{12}{6-4}+2=$

$=\frac{12}{2}+2=6+2=8$

$f\left(7\right)=\frac{12}{7-4}+2=$

$=\frac{12}{3}+2=4+2=6$

$f\left(8\right)=\frac{12}{8-4}+2=$

$=\frac{12}{4}+2=3+2=5$

$f\left(10\right)=\frac{12}{10-4}+2$=

$=\frac{12}{6}+2=2+2=4$

$f\left(16\right)=\frac{12}{16-4}+2=$

$=\frac{12}{12}+2=1+2=3$

Wnioskujemy, że

$\left(-8,1\right),\left(-2,0\right),\left(0,-1\right),\left(1,-2\right),\left(2,-4\right),\left(3,-10\right),\left(5,14\right),\left(6,8\right),\left(7,6\right),\left(8,5\right),\left(10,4\right),\left(16,3\right)$