a)

Rozwiążmy równanie:

$2x^2-9x-35=0$

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-35\right)=81+280=361$

$\sqrt{\Delta }=19$

$x_1=\frac{9-19}{2\cdot 2}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}$

$x_2=\frac{9+19}{2\cdot 2}=\frac{28}{4}=7$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x=-\frac{5}{2}$  lub   $x=7$

---

b)

Rozwiążmy równanie:

$4x^2-13x+3=0$

$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 4\cdot 3=169-48=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

$x_1=\frac{13-11}{2\cdot 4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{13+11}{2\cdot 4}=\frac{24}{8}=3$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x=\frac{1}{4}$  lub   $x=3$

---

c)

Rozwiążmy równanie:

$-6x^2+13x+5=0$

$\Delta =13^2-4\cdot \left(-6\right)\cdot 5=169+120=289$

$\sqrt{\Delta }=17$

$x_1=\frac{-13-17}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{-30}{-12}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

$x_2=\frac{-13+17}{2\cdot \left(-6\right)}=\frac{4}{-12}=-\frac{1}{3}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x=-\frac{1}{3}$  lub   $x=\frac{5}{2}$

---

d)

Rozwiążmy równanie:

$5x^2-6x+6=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 5\cdot 6=36-120=-84$

To równanie jest sprzeczne, bo $\Delta <0$.

---

e)

Rozwiążmy równanie:

$-2x^2+5x-3=0$

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-3\right)=25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$x_1=\frac{-5-1}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-5+1}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-4}{-4}=1$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x=\frac{3}{2}$  lub   $x=1$

---

f)

Rozwiążmy równanie:

$4x^2+12x+9=0$

${\left(2x\right)}^2+2\cdot 2x\cdot 3+3^2=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, mamy:

${\left(2x+3\right)}^2=0$

$2x+3=0|-3$

$2x=-3|:2$

$x=-\frac{3}{2}$

---

g)

Rozwiążmy równanie:

$\frac{1}{2}{x}^2+x+1=0$

$\Delta =1^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=1-2=-1$

To równanie jest sprzeczne, bo $\Delta <0$.

---

h)

Rozwiążmy równanie:

$x^2-\frac{x}{2}-\frac{1}{2}=0|\cdot 2$

$2x^2-x-1=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

$x_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$x=-\frac{1}{2}$  lub   $x=1$

---

i)

Rozwiążmy równanie:

$\frac{1}{4}{x}^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=0$

${\left(\frac{1}{2}x\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}x\cdot \frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, mamy:

${\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}\right)}^2=0$

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0|\cdot 6$

$3x-2=0|+2$

$3x=2|:3$

$x=\frac{2}{3}$