a)

Obliczmy cosinus największego kąta w tym trójkącie korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha |-b^2-c^2$

$a^2-b^2-c^2=-2bc\cos \alpha |:\left(-2bc\right)$

$\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}=\cos \alpha$

$\cos \alpha =\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}$

$\cos \alpha =\frac{8^2-7^2-5^2}{-2\cdot 7\cdot 5}=\frac{64-49-25}{-70}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0,1428$

$\alpha \approx 82^{\circ }$

Największy kąt trójkąta ma miarę $82^{\circ }$, zatem jest to trójkąt ostrokątny.

---

b)

Obliczmy cosinus największego kąta w tym trójkącie korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha |-b^2-c^2$

$a^2-b^2-c^2=-2bc\cos \alpha |:\left(-2bc\right)$

$\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}=\cos \alpha$

$\cos \alpha =\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}$

$\cos \alpha =\frac{25^2-7^2-24^2}{-2\cdot 7\cdot 24}=\frac{65-49-576}{-336}=\frac{0}{-336}=0$

$\alpha =90^{\circ }$

Jest to trójkąt prostokątny.

---

c)

Obliczmy cosinus największego kąta w tym trójkącie korzystając z twierdzenia cosinusów:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta |-a^2-c^2$

$b^2-a^2-c^2=-2ac\cos \beta |:\left(-2ac\right)$

$\frac{b^2-a^2-c^2}{-ac}=\cos \beta$

$\cos \beta =\frac{b^2-a^2-c^2}{-ac}$

$\cos \beta =\frac{11^2-10^2-4^2}{-2\cdot 10\cdot 4}=\frac{121-100-16}{-80}=\frac{5}{-80}=-\frac{1}{16}\approx -0,0625$

$\beta \approx \left(90^{\circ },180^{\circ }\right)$

Największy kąt tego trójkąta jest kątem rozwartym, zatem jest to trójkąt rozwartokątny.

---

d)

Obliczmy cosinus największego kąta w tym trójkącie korzystając z twierdzenia cosinusów:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma |-a^2-b^2$

$c^2-a^2-b^2=-2ab\cos \gamma |:\left(-2ab\right)$

$\frac{c^2-a^2-c{b}^2}{-2ab}=\cos \gamma$

$\cos \gamma =\frac{c^2-a^2-c{b}^2}{-2ab}$

$\cos \gamma =\frac{21^2-6^2-20^2}{-2\cdot 6\cdot 20}=\frac{441-36-400}{-240}=\frac{5}{-240}=-\frac{1}{48}\approx -0,0208$  

Skoro $\cos 89^{\circ }\approx 0,0208$, to:

$\cos \left(180^{\circ }-89^{\circ }\right)=-0,0208$

Wtedy:

$\gamma \approx 91^{\circ }$

Największy kąt jest kątem rozwartym, zatem jest to trójkąt rozwartokątny.