Naszkicujmy rysunek pomocniczy:
α - kąt ostry w równoległoboku
β - kąt rozwarty w równoległoboku
c - krótsza przekątna
d- dłuższa przekątna
a)
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD i mamy:
c2=a2+b2−2abcosα
c2=22+(43)2−2⋅2⋅43⋅cos30∘
c2=4+16⋅3−163⋅23
c2=4+48−8⋅3
c2=52−24
c2=28∣,c>0
c=28
c=4⋅7
c=27
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC i mamy:
d2=a2+b2−2abcosβ
d2=22+(43)2−2⋅2⋅43⋅cos150∘
d2=4+16⋅3−163⋅cos(180∘−30∘)
d2=4+48−163⋅(−cos30∘)
d2=52+163⋅cos30∘
d2=52+163⋅23
d2=52+8⋅3
d2=52+24
d2=76∣,d>0
d=76
d=4⋅19
d=219
b)
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD i mamy:
c2=a2+b2−2abcosα
c2=42+(22)2−2⋅4⋅22⋅cos45∘
c2=16+8−162⋅22
c2=24−8⋅2
c2=8∣,c>0
c=8
c=4⋅2
c=22
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC i mamy:
d2=a2+b2−2abcosβ
d2=42+(22)2−2⋅4⋅22⋅cos135∘
d2=16+8−162⋅cos(180∘−45∘)
d2=24−162⋅(−cos45∘)
d2=24+162cos45∘
d2=24+162⋅22
d2=24+16
d2=40∣,d>0
c=40
c=4⋅10
c=210
c)
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD i mamy:
c2=a2+b2−2abcosα
c2=52+32−2⋅5⋅3⋅cos60∘
c2=25+9−30⋅21
c2=34−15
c2=19∣,c>0
c=19
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC i mamy:
d2=a2+b2−2ab⋅cosβ
d2=52+32−2⋅5⋅3⋅cos120∘
d2=25+9−30cos(180∘−60∘)
d2=34−30⋅(−cos60∘)
d2=34+30cos60∘
d2=34+30⋅21
d2=34+15
d2=49∣,d>0
d=7
d)
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD i mamy:
c2=a2+b2−2abcosα
c2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos60∘
c2=36+64−96⋅21
c2=100−48
c2=52∣,c>0
c=52
c=4⋅13
c=213
Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABC i mamy:
d2=a2+b2−2ab⋅cosβ
d2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos120∘
d2=36+64−96⋅cos(180∘−60∘)
d2=100−96⋅(−cos60∘)
d2=100+96cos60∘
d2=100+96⋅21
d2=100+48
d2=148∣,d>0
d=148
d=4⋅37
d=237
