a)  

Oznaczmy:

$\left|\sphericalangle CAB\right|=\alpha$

$\left|\sphericalangle CBA\right|=\beta$

$\left|\sphericalangle BCA\right|=90^{\circ }$

Wiemy, że:

$\alpha +\beta +90^{\circ }=180^{\circ }$ 

$\alpha +\beta =90^{\circ }$

Zatem:

$\alpha =90^{\circ }-\beta$

$\beta =90^{\circ }-\alpha$ 

W trójkącie $ACD$:

$\left|\sphericalangle CAD\right|=\left|\sphericalangle CAB\right|=\alpha$

$\left|\sphericalangle ADC\right|=90^{\circ }$ 

$\left|\sphericalangle ACD=180^{\circ }\right|-\left(90^{\circ }+\alpha \right)=90^{\circ }-\alpha =\beta$

W trójkącie $CBD$:

$\left|\sphericalangle CBD\right|=\left|\sphericalangle CBA\right|=\beta$

$\left|\sphericalangle CDB\right|=90^{\circ }$

$\left|\sphericalangle DCB\right|=180^{\circ }-\left(90^{\circ }+\beta \right)=90^{\circ }-\beta =\alpha$

Zatem trójkąty $ABC$, $ACD$ i $CBD$ są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

---

---

b)

Z podobieństwa trójkątów $ACD$ i $BCD$ otrzymujemy:

$\frac{h}{9}=\frac{16}{h}$

$h^2=9\cdot 16$  

$h^2=144$ 

$h=12$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ACD$ mamy:

${\left|AC\right|}^2=9^2+h^2$

${\left|AC\right|}^2=81+144$

${\left|AC\right|}^2=225|\sqrt{},\left|AC\right|>0$

$\left|AC\right|=15$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $BCD$ mamy:

${\left|BC\right|}^2=16^2+h^2$

${\left|BC\right|}^2=256+144$  

${\left|BC\right|}^2=400|\sqrt{},\left|BC\right|>0$

$\left|BC\right|=20$

Obliczmy pole trójkąta $ABC$:

$P_1=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot \left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 20=150$

Zatem promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość:

$r_1=\frac{2P_1}{a+b+c}$

$r_1=\frac{2\cdot 150}{25+20+15}$  

$r_1=\frac{300}{60}=5$

Zatem pole koła wpisanego w ten trójkąt wynosi:

$P_1=\pi r_1^2=\pi \cdot 5^2=25\pi$

---

---

c)

Obliczmy pole trójkąta $ACD$:

$P_2=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12=54$

Zatem promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość:

$r_2=\frac{2\cdot 54}{9+15+12}$  

$r_2=\frac{108}{36}$

$r_2=3$

Zatem pole koła wpisanego w ten trójkąt wynosi:

$P_2=\pi r_2^2=\pi \cdot 3^2=9\pi$

$P_o=\pi r^2=9\pi$  

---

Obliczmy pole trójkąta $BCD$:

$P_3=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 12=96$

Zatem promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość:

$r_3=\frac{2\cdot 96}{20+16+12}$  

$r_3=\frac{192}{48}$

$r_3=4$

Zatem pole koła wpisanego w ten trójkąt wynosi:

$P_3=\pi r_3^2=\pi \cdot 4^2=16\pi$