Skoro promień okręgu ma długość $4\sqrt{3}$, to:

$R=4\sqrt{4}$

$\left|OB\right|=4\sqrt{3}$

Skoro trójkąt $ABC$ jest trójkątem równobocznym, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie stanowi $\frac{2}{3}$ jego wysokości. Stąd: 

$\frac{2}{3}h=4\sqrt{3}|\cdot \frac{3}{2}$

$h=6\sqrt{3}$

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{a}{2}=6|\cdot 2$

$a=12$

Zatem:

$P_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$

Zauważmy, że wysokość trójkąta $ACD$ opuszczona na bok $AC$ ma długość:

$h_{AC}=r-\frac{1}{3}h=4\sqrt{3}-\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Zatem:

$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \left|AD\right|\cdot h_{AD}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$

Wobec tego otrzymujemy:

$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{ADC}=36\sqrt{3}+12\sqrt{3}=48\sqrt{3}$